Σταθερό τμήμα και λόγος εμβαδών

#1

: Σταθερότητα και λόγος..png (11.4 KiB) Προβλήθηκε 1097 φορές

Σε οξυγώνιο τρίγωνο ABC

τα μήκη των πλευρών c, a, b

είναι διαδοχικοί ακέραιοι και

είναι η διχοτόμος. Επί

της

θεωρώ τα σημεία E, F,

ώστε

και

σημείο της

ώστε

α) Να δείξετε ότι το μήκος του τμήματος

είναι σταθερό.

β) Να υπολογίσετε το λόγο $\displaystyle \frac{{(ABC)}}{{(EFG)}}$ συναρτήσει της πλευράς BC=a.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 07, 2022 11:24 am
Σταθερότητα και λόγος..png
Σε οξυγώνιο τρίγωνο τα μήκη των πλευρών είναι διαδοχικοί ακέραιοι και είναι η διχοτόμος. Επί

της θεωρώ τα σημεία ώστε και σημείο της ώστε

α) Να δείξετε ότι το μήκος του τμήματος είναι σταθερό.

β) Να υπολογίσετε το λόγο $\displaystyle \frac{{(ABC)}}{{(EFG)}}$ συναρτήσει της πλευράς

Έστω

και

οι προβολές των A,D

στις

αντίστοιχα. Τότε από $AE=AB\overset{AM\bot BE}{\mathop{\Rightarrow }}\,BE=2ME:\left( 1 \right)$ .

: Σταθερό τμήμα και λόγος εμβαδών.png (30.65 KiB) Προβλήθηκε 1069 φορές

Είναι $EF=BF-BE=2BD-2BM=2DM:\left( 2 \right)$ . Για τα ομοκυκλικά σημεία (λόγω των ορθών γωνιών ) A,M,D,S

σύμφωνα με το Θεώρημα των τεμνομένων χορδών θα είναι $CD\cdot CM=CS\cdot CA\overset{\vartriangle DSC\left( CS=CD\cdot \cos C \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,CD\cdot CM=$ $CD\cdot \cos C\cdot CA\Rightarrow CM=CA\cdot \cos C:\left( 3 \right)$ και από τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ θα έχουμε:
$\cos C=\dfrac{A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2AC\cdot BC}=\dfrac{{{\left( k+1 \right)}^{2}}+{{k}^{2}}-{{\left( k-1 \right)}^{2}}}{2k\cdot \left( k+1 \right)}=\dfrac{k+4}{2\left( k+1 \right)}$ και
$CM=\left( K+1 \right)\cdot \dfrac{k+4}{2\left( k+1 \right)}=\dfrac{k+4}{2}$ αλλά και από τη διχοτόμο έχουμε: $CD=\dfrac{BC\cdot AC}{AB+AC}=\dfrac{k\cdot \left( k+1 \right)}{2k}=\dfrac{k+1}{2}$ οπότε $DM=CM-CD=\dfrac{k+4}{2}-\dfrac{k+1}{2}=\dfrac{3}{2}\overset{\left( 2 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,EF=3=ct$

Αν

είναι το ύψος του τριγώνου $\vartriangle EGF$ τότε $\dfrac{\left( ABC \right)}{\left( EGF \right)}=\dfrac{BC}{EF}\cdot \dfrac{AM}{GN}:\left( 4 \right)$

Από $GM\parallel AM\Rightarrow \dfrac{AM}{GM}=\dfrac{AC}{CG}=\dfrac{AC}{AC-AB}=\dfrac{k+1}{2}$ , άρα $\dfrac{\left( ABC \right)}{\left( EGF \right)}=\dfrac{k}{3}\cdot \dfrac{k+1}{2}\overset{k=a}{\mathop{=}}\,\dfrac{a\left( a+1 \right)}{6}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 07, 2022 11:24 am
Σταθερότητα και λόγος..png
Σε οξυγώνιο τρίγωνο τα μήκη των πλευρών είναι διαδοχικοί ακέραιοι και είναι η διχοτόμος. Επί

της θεωρώ τα σημεία ώστε και σημείο της ώστε

α) Να δείξετε ότι το μήκος του τμήματος είναι σταθερό.

β) Να υπολογίσετε το λόγο $\displaystyle \frac{{(ABC)}}{{(EFG)}}$ συναρτήσει της πλευράς

Από θ.διχοτόμου με AB=m-1,BC=m,AC=m+1

παίρνουμε $CD= \dfrac{m+1}{2}$ και $BD= \dfrac{m-1}{2}$

Ισχύει $AD^2=AB.AC-BD.DC=m^2-1-\dfrac{m-1}{2}. \dfrac{m+1}{2} \Rightarrow AD^2= \dfrac{3}{4} (m^2-1)$

Θεωρούμε

συμμετρικό του

ως προς

οπότε

παραλ/μμο ,άρα FZ=AB=AG

και

$\angle ZAG= \angle FZA= \angle \dfrac{A}{2}$ συνεπώς AGFZ

ισοσκελές τραπέζιο και

$\dfrac{GF}{AD}= \dfrac{CG}{CA} \Rightarrow GF= \dfrac{CG}{CA}.AD$ (1)

Θεωρώντας τον κύκλο (A,AB)

οι πράσινες γωνίες είναι ίσες ως συμπληρώματα των ίσων εγγεγραμμένων γωνιών BQE,BGE

Επιπλέον, $\angle GEF= \angle GQB= \angle \dfrac{A}{2}$ άρα $\triangle ABD \simeq \triangle EGF \Rightarrow \dfrac{GF}{BD}= \dfrac{EF}{AD} \Rightarrow EF= \dfrac{GF}{BD} .AD$

και λόγω της (1)

$EF= \dfrac{CG}{CA.BD} .AD^2= \dfrac{2}{m+1. \dfrac{m-1}{2} }. \dfrac{3}{4}(m^2-1) \Rightarrow EF=3$

$\dfrac{(ABD)}{(ABC)}= \dfrac{BD}{BC}= \dfrac{m-1}{2m} \Rightarrow (ABC)= \dfrac{2m}{m-1}(ABD)$ και $\dfrac{(ABD)}{(EFG)}= \dfrac{AD^2}{EF^2}= \dfrac{ \dfrac{3}{4}(m^2-1) }{9}= \dfrac{m^2-1}{12}$

Εύκολα τώρα $\dfrac{(ABC)}{(EFG)}= \dfrac{m(m+1)}{6}$

: σταθερό τμήμα και λόγος εμβαδών.png (39.12 KiB) Προβλήθηκε 1022 φορές

#4

Αφού ευχαριστήσω τον Στάθη και τον Μιχάλη για τις όμορφες λύσεις τους

, να θέσω άλλο ένα ερώτημα:

Με τα ίδια δεδομένα, αλλά με τυχούσες πλευρές και τον μόνο περιορισμό η να είναι

η μικρότερη πλευρά του τριγώνου, να δείξετε ότι η εφάπτεται στον περίκυκλο του

: Εφάπτεται στον περίκυκλο..png (13.54 KiB) Προβλήθηκε 979 φορές

#5

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 09, 2022 6:41 pm
Αφού ευχαριστήσω τον Στάθη και τον Μιχάλη για τις όμορφες λύσεις τους , να θέσω άλλο ένα ερώτημα:

Με τα ίδια δεδομένα, αλλά με τυχούσες πλευρές και τον μόνο περιορισμό η να είναι

η μικρότερη πλευρά του τριγώνου, να δείξετε ότι η εφάπτεται στον περίκυκλο του
Εφάπτεται στον περίκυκλο..png

Εύκολη απόδειξη Γιώργο με στοιχειώδη μέσα Α' Λυκείου όμως έχω την αίσθηση ότι δεν απαιτείται ο πιο πάνω περιορισμός και η πρόταση ισχύει σε οποιοδήποτε τρίγωνο (δηλαδή τα δεδομένα της αριθμητικής προόδου για τις πλευρές επίσης δεν απαιτούνται) . Πιθανόν να μου διαφεύγει κάτι αλλά δεν νομίζω

#6

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 09, 2022 11:34 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 09, 2022 6:41 pm
Αφού ευχαριστήσω τον Στάθη και τον Μιχάλη για τις όμορφες λύσεις τους , να θέσω άλλο ένα ερώτημα:

Με τα ίδια δεδομένα, αλλά με τυχούσες πλευρές και τον μόνο περιορισμό η να είναι

η μικρότερη πλευρά του τριγώνου, να δείξετε ότι η εφάπτεται στον περίκυκλο του
Εφάπτεται στον περίκυκλο..png
Εύκολη απόδειξη Γιώργο με στοιχειώδη μέσα Α' Λυκείου όμως έχω την αίσθηση ότι δεν απαιτείται ο πιο πάνω περιορισμός και η πρόταση ισχύει σε οποιοδήποτε τρίγωνο (δηλαδή τα δεδομένα της αριθμητικής προόδου για τις πλευρές επίσης δεν απαιτούνται) . Πιθανόν να μου διαφεύγει κάτι αλλά δεν νομίζω

Καλημέρα Στάθη.

Έχεις δίκιο. Για τα δεδομένα της αριθμητικής προόδου το ήξερα , γι' αυτό έγραψα "τυχούσες πλευρές με μόνο
περιορισμό..." Φαίνεται όμως ότι ούτε αυτός ο περιορισμός χρειάζεται. Παρασύρθηκα από την πηγή που έλεγε:
"Έστω τρίγωνο με ", κλπ. Θα δώσω την πηγή μετά τη λύση.

#7

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 09, 2022 6:41 pm
Αφού ευχαριστήσω τον Στάθη και τον Μιχάλη για τις όμορφες λύσεις τους , να θέσω άλλο ένα ερώτημα:

Με τα ίδια δεδομένα, αλλά με τυχούσες πλευρές και τον μόνο περιορισμό η να είναι

η μικρότερη πλευρά του τριγώνου, να δείξετε ότι η εφάπτεται στον περίκυκλο του
Εφάπτεται στον περίκυκλο..png

: Σταθερό τμήμα και λόγος εμβαδών 1.png (31.33 KiB) Προβλήθηκε 902 φορές

Έστω $AM\bot BE\left( M\in BE \right)$ και $N\equiv AD\cap BG$ . Προφανώς $AN\bot BG$ αφού

διχοτόμος του ισοσκελούς τριγώνου $\vartriangle ABG\left( AB=AG \right)$ και συνεπώς

το μέσο της

όπως βέβαια και

μέσο της

(

ύψος του ισοσκελούς τριγώνου $\vartriangle ABE\left( AB=AE \right)$ και φυσικά

το μέσο της

(από την υπόθεση DF=BD

).

Έτσι στο τρίγωνο $\vartriangle BEG$ τα M,N

είναι τα μέσα των πλευρών του BE,BG

αντίστοιχα και συνεπώς $MN\parallel EG:\left( 1 \right)$ . Ομοίως από το τρίγωνο $\vartriangle BGF\xrightarrow{N,D\,\,\mu \varepsilon \sigma \alpha \,\,\tau \omega \nu \,\,BG,BF}ND\parallel FG\Rightarrow AD\parallel FG:\left( 2 \right)$

Από $\angle AMB=\angle ANB={{90}^{0}}\Rightarrow A,N,M,B$ ομοκυκλικά.

Έτσι θα έχουμε: $\angle GEF\overset{MN\parallel EG}{\mathop{=}}\,\angle EMN\overset{A,N,M,B\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,$ $\angle BAN\overset{AN\,\,\delta \iota \chi o\tau o\mu o\varsigma }{\mathop{=}}\,\angle NAC\overset{AN\parallel GF}{\mathop{=}}\,\angle FGC\Rightarrow$ ο περίκυκλος του τριγώνου $\vartriangle EFG$ εφάπτεται της

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 09, 2022 6:41 pm
Αφού ευχαριστήσω τον Στάθη και τον Μιχάλη για τις όμορφες λύσεις τους , να θέσω άλλο ένα ερώτημα:

Με τα ίδια δεδομένα, αλλά με τυχούσες πλευρές και τον μόνο περιορισμό η να είναι

η μικρότερη πλευρά του τριγώνου, να δείξετε ότι η εφάπτεται στον περίκυκλο του
Εφάπτεται στον περίκυκλο..png

Από την προηγούμενη ανάρτησή μου,το AGFZ

ισοσκελές τραπέζιο ,συνεπώς όλες οι κόκκινες

γωνίες είναι $\angle \dfrac{A}{2}$ και το ζητούμενο αποδείχτηκε

( το GC=2

δεν ισχύει,έμεινε από το σχήμα της προγούμενης ανάρτησης )

: σταθερό τμήμα και λόγος εμβαδών.png (39.61 KiB) Προβλήθηκε 881 φορές

#9

Αυτό το τελευταίο ερώτημα είναι ανεξάρτητο από την αρχική άσκηση. Το θέμα αυτό είναι το 2ο πρόβλημα από
την Ιταλική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2022 (Η πρώτη λύση στην παραπομπή είναι δική μου).

Από εκεί άντλησα την ιδέα για την αρχική άσκηση. Το δεδομένο ότι οι πλευρές του τριγώνου είναι διαδοχικοί
ακέραιοι, είναι δικής μου επινόησης. Με βόλεψε η παρατήρηση ότι είναι πάντα $\color{blue}EF=3$ .

Σταθερό τμήμα και λόγος εμβαδών

Σταθερό τμήμα και λόγος εμβαδών

Re: Σταθερό τμήμα και λόγος εμβαδών

Re: Σταθερό τμήμα και λόγος εμβαδών

Re: Σταθερό τμήμα και λόγος εμβαδών

Re: Σταθερό τμήμα και λόγος εμβαδών

Re: Σταθερό τμήμα και λόγος εμβαδών

Re: Σταθερό τμήμα και λόγος εμβαδών

Re: Σταθερό τμήμα και λόγος εμβαδών

Re: Σταθερό τμήμα και λόγος εμβαδών

Μέλη σε σύνδεση