Τμηματίδιο

KARKAR · #1

: Τμηματίδιο.png (14.46 KiB) Προβλήθηκε 934 φορές

Οι κύκλοι (O,3)

και

, τέμνονται στα A , B

. Η

ξανατέμνει τον (O)

στο

, ενώ η

τέμνει την

στο

. Υπολογίστε το

, αν :

.

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιουν 02, 2022 2:06 pm Τμηματίδιο.pngΟι κύκλοι και , τέμνονται στα . Η ξανατέμνει τον

στο , ενώ η τέμνει την στο . Υπολογίστε το , αν : .

: Τμηματίδιο.png (19.62 KiB) Προβλήθηκε 896 φορές

$\displaystyle O\widehat BK = O\widehat AK = 180^\circ - O\widehat AS = 180^\circ - O\widehat SA,$ άρα το OBKS

είναι εγγράψιμο, οπότε οι κόκκινες

γωνίες είναι ίσες και η

εφάπτεται στον περίκυκλο του TBK.

Επομένως, $O{B^2} = OT \cdot OK \Leftrightarrow 9 = 4OT$

και $OT = \dfrac{9}{4}.$ Εφαρμόζω το θεώρημα Stewart στο τρίγωνο OBK:

$\displaystyle 9TK + 4OT = T{B^2} \cdot OK + OK \cdot OT \cdot TK \Leftrightarrow 9 = 4T{B^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{TB=\frac{3}{2}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιουν 02, 2022 2:06 pm Τμηματίδιο.pngΟι κύκλοι και , τέμνονται στα . Η ξανατέμνει τον

στο , ενώ η τέμνει την στο . Υπολογίστε το , αν : .

Είναι,

και

Το πρώτο θ.διαμέσου στo τρίγωνo AOK

δίνει $AM^2= \dfrac{5}{2}$ κι έπειτα στο τρίγωνο AMK

δίνει $AE=EB= \dfrac{3}{2}$

Ισχύει $KA.KS=KE.KZ\Rightarrow 2KS=1.7 \Rightarrow KS= \dfrac{7}{2} \Rightarrow AS= \dfrac{3}{2}$

Επειδή,στο ισοσκελές τραπέζιο SAEB

η

είναι διχοτόμος της $\angle BSA$ ,θα είναι και η

διχοτόμος της $\angle EBT$

Άρα ATBE

ρόμβος,οπότε $BT= \dfrac{3}{2}$

: τμηματίδιο.png (59.25 KiB) Προβλήθηκε 854 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιουν 02, 2022 2:06 pm Τμηματίδιο.pngΟι κύκλοι και , τέμνονται στα . Η ξανατέμνει τον

στο , ενώ η τέμνει την στο . Υπολογίστε το , αν : .

Αλλιώς

Ισχύει $KA.KS=KE.KZ\Rightarrow 2KS=7 \Rightarrow KS= \dfrac{7}{2}$

$\dfrac{ST}{TB} . \dfrac{BN}{NA} . \dfrac{KA}{KS} =1 \Rightarrow \dfrac{ST}{TB}= \dfrac{7}{4}$

$\angle ASB= \angle AOK \Rightarrow \triangle AOK \simeq \triangle STK \Rightarrow \dfrac{ST}{3} = \dfrac{KS}{4} \Rightarrow ST= \dfrac{21}{8}$

Από την $\dfrac{ST}{TB}= \dfrac{7}{4}$ έχουμε τότε $TB=\dfrac{3}{2}$

: τμηματίδιο.png (285.91 KiB) Προβλήθηκε 851 φορές

#5

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιουν 02, 2022 2:06 pm Τμηματίδιο.pngΟι κύκλοι και , τέμνονται στα . Η ξανατέμνει τον

στο , ενώ η τέμνει την στο . Υπολογίστε το , αν : .

: Τμηματίδιο.png (26.18 KiB) Προβλήθηκε 812 φορές

Ας είναι

το αντιδιαμετρικό του

στο μικρό κύκλο δηλαδή στον $\left( {K,2} \right)$ , τότε:

1. $\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{C_{}}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{O_{}}} = \widehat {{S_{}}}$ ( σχέση επικέντρου με αντίστοιχη εγγεγραμμένη )

με άμεση συνέπεια: $SC = 4m\,\,,\,\,SB = 3m\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC = 2m\,\,,\,\,m > 0\,\,$

2. Όμως προφανώς και $\boxed{\vartriangle AOK \approx \vartriangle TSK \Rightarrow \frac{{AO}}{{TS}} = \frac{{OK}}{{SK}} \Rightarrow \frac{3}{{3m - x}} = \frac{4}{{4m - 2}} \Rightarrow x = \frac{3}{2}}$

Τμηματίδιο

Τμηματίδιο

Re: Τμηματίδιο

Re: Τμηματίδιο

Re: Τμηματίδιο

Re: Τμηματίδιο

Μέλη σε σύνδεση