Άθροισμα τετραγώνων

KARKAR · #1

: Άθροισμα τετραγώνων.png (12.57 KiB) Προβλήθηκε 654 φορές

Τα σημεία A , B , C

τριχοτομούν τον κύκλο (O,3)

. Ένα σημείο

κινείται στον

( ομόκεντρο ) κύκλο (O,1)

. Υπολογίστε το άθροισμα : SA^2+SB^2+SC^2

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 27, 2023 9:10 am
Άθροισμα τετραγώνων.pngΤα σημεία τριχοτομούν τον κύκλο . Ένα σημείο κινείται στον

( ομόκεντρο ) κύκλο . Υπολογίστε το άθροισμα : .

: Άθροισμα τετραγώνων.ΚΑ.png (17.43 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές

Άμεσο από το θεώρημα $\rm Leibniz$ με

βαρύκεντρο του ισοπλεύρου τριγώνου ABC

και $a=b=c=3\sqrt 3.$

$\boxed{SA^2+SB^2+SC^2=30}$

Γενίκευση: Αν R, r

οι ακτίνες του μεγάλου και του μικρού κύκλου αντίστοιχα, τότε $\boxed{SA^2+SB^2+SC^2=3(R^2+r^2)}$

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Με κέντρο το

και με

την εικόνα του μιγαδικού

έχουμε

$OA=3e^{i\theta },OB=3e^{i\left (2\pi/3+ \theta \right ) },OC=3e^{i\left (4\pi/3+ \theta \right ) }$

και

SA^2+SB^2+SC^2=

$|3e^{i \theta }-1|^2+|3e^{i\left (2\pi/3+ \theta \right ) }-1|^2+|3e^{i\left (4\pi/3+ \theta \right ) }-1|^2=$

$\left (9|e^{i\theta }|-6\Re e\left ( e^{i\theta } \right )+1 \right ) +\left (9|e^{i(2\pi/3+\theta) }|-6\Re e\left ( e^{i(2\pi/3+\theta) } \right )+1 \right )$

$+\left (9|e^{i(4\pi/3+\theta) }|-6\Re e\left ( e^{i(4\pi/3+\theta) } \right )+1 \right )=$

$\left ( 10-6\Re e\left ( e^{i\theta } \right ) \right ) +\left ( 10-6\Re e\left ( e^{i\left (2\pi/3+\theta \right ) } \right ) \right ) +\left ( 10-6\Re e\left ( e^{i\left (4\pi/3+\theta \right ) } \right ) \right )=$

$30-6\left ( \Re e\left ( e^{i \theta } \right )+\Re e\left ( e^{i\left (2\pi/3+\theta \right ) } \right ) +\Re e\left ( e^{i\left (4\pi/3+\theta \right ) } \right ) \right )=30$

όπου στην τελευταία χρησιμοποιήσαμε την

$e^{i \theta }+e^{i\left (2\pi/3+ \theta \right ) }+e^{i\left (4\pi/3+ \theta \right ) }=$

$e^{i \theta }\left ( 1+e^{i\left (2\pi/3\right ) }+ e^{i\left (4\pi/3\right ) }\right )=0$

για να πάρουμε

$\Re e\left ( e^{i \theta } \right )+\Re e\left ( e^{i\left (2\pi/3+\theta \right ) } \right ) +\Re e\left ( e^{i\left (4\pi/3+\theta \right ) } \right )=0.$

Άθροισμα τετραγώνων

Άθροισμα τετραγώνων

Re: Άθροισμα τετραγώνων

Re: Άθροισμα τετραγώνων

Μέλη σε σύνδεση