Πάλι ακτίνα

KARKAR · #1

: Πάλι ακτίνα.png (12.94 KiB) Προβλήθηκε 559 φορές

Οι ακτίνες των δύο ομόκεντρων κύκλων διαφέρουν κατά

. Από σημείο

του μεγάλου , φέρω εφαπτόμενο

τμήμα

στον μικρό και σχεδιάζω την ακτίνα ODB

του μεγάλου , της οποίας το μέσο ονομάζω

.

Αν η

τέμνει τον μεγάλο κύκλο στο σημείο

και είναι : AC=2AB

, υπολογίστε την ακτίνα του .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 08, 2023 1:33 pm
Πάλι ακτίνα.pngΟι ακτίνες των δύο ομόκεντρων κύκλων διαφέρουν κατά . Από σημείο του μεγάλου , φέρω εφαπτόμενο

τμήμα στον μικρό και σχεδιάζω την ακτίνα του μεγάλου , της οποίας το μέσο ονομάζω .

Αν η τέμνει τον μεγάλο κύκλο στο σημείο και είναι : , υπολογίστε την ακτίνα του .

Ας είναι $OA = OB = OC = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB = k$ . Προφανώς OD = x - 1

, ενώ $OM = MB = \dfrac{x}{2}$ .

Έχω: $A{D^2} = O{A^2} - O{D^2} = {x^2} - {\left( {x - 1} \right)^2} = 2x - 1 \Rightarrow AD = \sqrt {2x - 1} \,\,\left( 1 \right)$ . Τώρα :

$A{B^2} = A{D^2} + D{B^2} \Rightarrow {k^2} = 2x - 1 + 1 \Rightarrow k = \sqrt {2x} \,\,\left( 2 \right)$ Οπότε από το Θ. διαμέσων στο $\vartriangle ABO$ προκύπτει :

: Πάλι ακτίνα.png (11.54 KiB) Προβλήθηκε 512 φορές

$AM = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 4x} }}{2}\,\,\,\left( 3 \right)$ και έτσι από τη δύναμη του σημείου

ως προς τον μεγάλο κύκλο έχω: $MC = \dfrac{{3{x^2}}}{{2\sqrt {{x^2} + 4x} }}\,\,\left( 4 \right)$ .

Επειδή : AM + MC = 2AB

έχω ( απλές πράξεις) $\boxed{x = \sqrt 7 }$ , η μεγάλη ακτίνα είναι

$R = \sqrt 7$ και ή μικρή , $r = \sqrt 7 - 1$ .

Πάλι ακτίνα

Πάλι ακτίνα

Re: Πάλι ακτίνα

Μέλη σε σύνδεση