Κατασκευή κύκλου

KARKAR · #1

: Κατασκευή κύκλου.png (5.78 KiB) Προβλήθηκε 1401 φορές

Με κέντρο την κορυφή

του - διαστάσεων $a\times b , (a>b)$ - ορθογωνίου ABCD

να κατασκευαστεί

κύκλος , τέτοιος ώστε η "κάτω" εφαπτομένη

και η "αριστερή"

να τέμνονται κάθετα .

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιούλ 09, 2023 5:25 pm Κατασκευή κύκλου.pngΜε κέντρο την κορυφή του - διαστάσεων $a\times b , (a>b)$ - ορθογωνίου να κατασκευαστεί

κύκλος , τέτοιος ώστε η "κάτω" εφαπτομένη και η "αριστερή" να τέμνονται κάθετα .

: Κατασκευή κύκλου_ok.png (14.78 KiB) Προβλήθηκε 1344 φορές

Θεωρώ σημείο

της πλευράς

ώστε : $\dfrac{{AE}}{{EB}} = \dfrac{{a + b}}{b}$ .

Η τομή του ημικυκλίου διαμέτρου

( εσωτερικό του ορθογωνίου ABCD

) με την

,ορίζει το

.

Μετά γράφω κύκλο με κέντρο το

και ακτίνα την απόσταση

του

από την ευθεία

.

Απόδειξη.

Με

η τομή της

με την

, Αρκεί να δείξω την αλήθεια της αναλογίας : $\dfrac{{EA}}{{EB}} = \dfrac{{a + b}}{b}$ .

Φέρνω στο

κάθετη στην

που τέμνει την ευθεία

στο

.

Η τετράδα $\left( {A,B\backslash E,F} \right)$ είναι αρμονική, προφανώς δε τα σημεία C,T,B,F

ανήκουν σ ένα κύκλο .

: Κατασκευή κύκλου_ Ανάλυση.png (29.04 KiB) Προβλήθηκε 1321 φορές

Άρα $\widehat {\theta _{}^{}} = 45^\circ$ , με άμεση συνέπεια : BF = b

. Ας είναι $AE = x \Rightarrow EB = a - x$ .

Από την αρμονική αναλογία , $\dfrac{{EA}}{{EB}} = \dfrac{{FA}}{{FB}} \Rightarrow \frac{x}{{a - x}} = \dfrac{{a + b}}{b} \Rightarrow \dfrac{{EA}}{{EB}} = \dfrac{{a + b}}{b}$

#3

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιούλ 09, 2023 5:25 pm Κατασκευή κύκλου.pngΜε κέντρο την κορυφή του - διαστάσεων $a\times b , (a>b)$ - ορθογωνίου να κατασκευαστεί

κύκλος , τέτοιος ώστε η "κάτω" εφαπτομένη και η "αριστερή" να τέμνονται κάθετα .

Έστω ότι κατασκευάστηκε. Η

τέμνει την

στο

και η

την

στο

Από την προφανή

ισότητα των τριγώνων CSF, CPE

είναι

οπότε

: Κατασκευή κύκλου.Κ.png (12.66 KiB) Προβλήθηκε 1329 φορές

Από τα όμοια τρίγωνα BCE, ABF

είναι $\displaystyle \frac{b}{a} = \frac{x}{{b - x}} \Leftrightarrow x = \frac{{{b^2}}}{{a + b}},$ άρα το σημείο

είναι ορισμένο και το ύψος

του τριγώνου CBE

είναι η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου.

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #4

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιούλ 09, 2023 5:25 pm Κατασκευή κύκλου.pngΜε κέντρο την κορυφή του - διαστάσεων $a\times b , (a>b)$ - ορθογωνίου να κατασκευαστεί
κύκλος , τέτοιος ώστε η "κάτω" εφαπτομένη και η "αριστερή" να τέμνονται κάθετα .

: Κατασκευη_Κυκλου.png (17.31 KiB) Προβλήθηκε 1292 φορές

Στην προέκταση της

παίρνω σημείο

τέτοιο ώστε CE =CB

.
Από το

φέρνω

  κάθετη στη

και στη συνέχεια κατασκευάζω τον κύκλο (C, CS)

Φέρνω την εφαπτομένη

του κύκλου αυτού και από την ισότητα των τριγώνων CSE

και

αποδεικνύεται ότι η

είναι κάθετη στην

.

#5

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιούλ 09, 2023 5:25 pm Κατασκευή κύκλου.pngΜε κέντρο την κορυφή του - διαστάσεων $a\times b , (a>b)$ - ορθογωνίου να κατασκευαστεί

κύκλος , τέτοιος ώστε η "κάτω" εφαπτομένη και η "αριστερή" να τέμνονται κάθετα .

: Κατασκευή κύκλου_ Χωρίς λόγια.png (18.36 KiB) Προβλήθηκε 1286 φορές

Και μια χωρίς λόγια .

#6

Μία προσέγγιση χωρίς σχήμα.

Γράφουμε τον κύκλο (K)

με διάμετρο

και ας είναι

ο Νότιος πόλος του. Η ευθεία

επανατέμνει τον κύκλο (K)

στο σημείο έστω

.

Ο κύκλος έστω (C),

με κέντρο το σημείο

και ακτίνα την ίση απόσταση του

από τις ευθείες $AT,\ BT,$ ( γιατί η ευθεία CTM

ταυτίζεται με την διχοτόμο της ορθής γωνία $\angle ATB$ ) είναι ο ζητούμενος και το πρόβλημα έχει λυθεί.

Κώστας Βήττας.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιούλ 09, 2023 5:25 pm Κατασκευή κύκλου.pngΜε κέντρο την κορυφή του - διαστάσεων $a\times b , (a>b)$ - ορθογωνίου να κατασκευαστεί

κύκλος , τέτοιος ώστε η "κάτω" εφαπτομένη και η "αριστερή" να τέμνονται κάθετα .

Ο κύκλος

τέμνει την

στο

και η κάθετη από το

στην

τέμνει τον κύκλο στο

Προφανώς

είναι ισοσκελές τραπέζιο ,άρα στις ίσες χορδές BL,QK

αντιστοιχούν ίσα

αποστήματα

,συνεπώς

τετράγωνο

O κύκλος (C,r)

είναι ο ζητούμενος

: Κατασκευή κύκλου.png (20.71 KiB) Προβλήθηκε 1218 φορές

S.E.Louridas · #8

Ας δούμε και το σχήμα που ακολουθεί:

: 1234.png (44.63 KiB) Προβλήθηκε 1191 φορές

S.E.Louridas · #9

S.E.Louridas έγραψε: Τρί Ιούλ 11, 2023 4:28 pm Ας δούμε και το σχήμα που ακολουθεί:1234.png

Μόλις με πληροφόρησε ο Νίκος ότι την ίδια λύση έχει κάνει και ο Κώστας Βήττας, αλλά χωρίς σχήμα, ό και εγώ διαπίστωσα.
Ας θεωρηθεί λοιπόν ότι έκανα το σχήμα στην ήδη υπάρχουσα λύση του φίλου Κώστα (Με χαρά ... προφανώς).

Κατασκευή κύκλου

Κατασκευή κύκλου

Re: Κατασκευή κύκλου

Re: Κατασκευή κύκλου

Re: Κατασκευή κύκλου

Re: Κατασκευή κύκλου

Re: Κατασκευή κύκλου

Re: Κατασκευή κύκλου

Re: Κατασκευή κύκλου

Re: Κατασκευή κύκλου

Μέλη σε σύνδεση