Ευγονία

KARKAR · #1

: Ευγονία.png (17.09 KiB) Προβλήθηκε 705 φορές

Οι κύκλοι (O,5)

και

, με διάκεντρο : OK=7

, τέμνονται στα σημεία

και

.

Θεωρούμε χορδές

του μεγάλου κύκλου και

του μικρού κύκλου , ίσες με την

.

Υπολογίστε την γωνία $\widehat{CAD}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 04, 2023 12:40 pm
Ευγονία.pngΟι κύκλοι και , με διάκεντρο : , τέμνονται στα σημεία και .

Θεωρούμε χορδές του μεγάλου κύκλου και του μικρού κύκλου , ίσες με την .

Υπολογίστε την γωνία $\widehat{CAD}$ .

$\displaystyle 49 = 25 + 9 + 5 \cdot 3 \Leftrightarrow O{K^2} = A{O^2} + A{K^2} + AO \cdot AK \Leftrightarrow O\widehat AK = 120^\circ$

: Ευγονία.png (24.98 KiB) Προβλήθηκε 699 φορές

Τα τετράπλευρα ABOK, ABKD

είναι χαρταετοί, οπότε οι AO, AK

διχοτομούν τις γωνίες

των αντίστοιχων κορυφών. Άρα, $\displaystyle C\widehat AO + D\widehat AK = 120^\circ \Rightarrow$ $\boxed{C\widehat AD=120^\circ}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 04, 2023 12:40 pm
Ευγονία.pngΟι κύκλοι και , με διάκεντρο : , τέμνονται στα σημεία και .

Θεωρούμε χορδές του μεγάλου κύκλου και του μικρού κύκλου , ίσες με την .

Υπολογίστε την γωνία $\widehat{CAD}$ .

: Ευγωνία.png (24.77 KiB) Προβλήθηκε 680 φορές

Στο $\vartriangle AOK$ από Θ. συνημίτονου έχω : $\cos \widehat {AOK} = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat {AOK} = 120^\circ$ . Όμως $BC \bot AO\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD \bot AK \Rightarrow \widehat {DBC} = 60^\circ$ .

Στον κύκλο $\left( {A,AB} \right)$ αφού η εγγεγραμμένη γωνία , $\widehat {DBC} = 60^\circ$ η αντίστοιχη επίκεντρη $\widehat {DAC} = 120^\circ$ .

Henri van Aubel · #4

Καλησπέρα. Βρέχει πολύ εδώ ...

(δεν κάνω πλάκα, όντως βρέχει )

Έχουμε $\displaystyle \cos \angle OAK=\frac{3^{2}+5^{2}-7^{2}}{2\cdot 3\cdot 5}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \angle OAK=120^\circ.$

Επιπλέον $\angle AOB+\angle AKB=360^\circ-2\angle OAK=120^\circ$ , συνεπώς $\displaystyle \angle CBD=\frac{1}{2}\angle AOB+\frac{1}{2}\angle AKB=60^\circ.$

Όμως , το

είναι το περίκεντρο του $\vartriangle CBD\Rightarrow \angle CAD=2\angle CBD=120^\circ.$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 04, 2023 12:40 pm
Ευγονία.pngΟι κύκλοι και , με διάκεντρο : , τέμνονται στα σημεία και .

Θεωρούμε χορδές του μεγάλου κύκλου και του μικρού κύκλου , ίσες με την .

Υπολογίστε την γωνία $\widehat{CAD}$ .

Έστω ότι η

τέμνει τον κύκλο (K)

στο

και τον

στο

και

αντιδιαμετρικά των A,N

στους κύκλους (K)

,

αντίστοιχα ,οπότε οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες,συνεπώς και οι πράσινες

Οι μπλε γωνίες είναι ίσες,άρα $BD \bot AL$ και η

είναι μεσοκάθετη της

Όμως $\angle N_{1}= \angle N_{2}$ και NB=ND

άρα $NM \bot BD$ συνεπώς N,A,M,K

συνευθειακά ,όπως και O,A,P

Αλλά $KA.KN=KE.KZ \Rightarrow 3.KN=2.12 \Rightarrow KN=8 \Rightarrow AN=5 \Rightarrow \triangle ONA$ ισόπλευρο

Άρα κάθε κόκκινη γωνία είναι 30^0

επομένως $\angle DAC=120^0$

: Ευγονία.png (41.38 KiB) Προβλήθηκε 593 φορές

Ευγονία

Ευγονία

Re: Ευγονία

Re: Ευγονία

Re: Ευγονία

Re: Ευγονία

Μέλη σε σύνδεση