Ελάχιστη πλευρά ισοπλεύρου

#1

: Ελάχιστη πλευρά ισοπλεύρου.png (17.52 KiB) Προβλήθηκε 918 φορές

Σε ημικύκλιο διαμέτρου AB=14,

θεωρώ σημείο

ώστε $C\widehat AB=30^\circ$ και έστω

τυχόν σημείο της πλευράς BC.

α) Να κατασκευάσετε ισόπλευρο τρίγωνο ABC

με τις κορυφές του K, L

επί των πλευρών AB, AC.

β) Να προσδιορίσετε τη θέση του

ώστε η πλευρά του ισοπλεύρου να είναι η ελάχιστη δυνατή.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 26, 2024 1:59 pm
Ελάχιστη πλευρά ισοπλεύρου.png
Σε ημικύκλιο διαμέτρου θεωρώ σημείο ώστε $C\widehat AB=30^\circ$ και έστω τυχόν σημείο της πλευράς

α) Να κατασκευάσετε ισόπλευρο τρίγωνο με τις κορυφές του επί των πλευρών

β) Να προσδιορίσετε τη θέση του ώστε η πλευρά του ισοπλεύρου να είναι η ελάχιστη δυνατή.

Κατασκευάζω ισόπλευρο $\vartriangle MFB$ .. Φέρνω από το

παράλληλη στην

που τέμνει την

στο

.

Ο κύκλος , $\Omega =$ $\left( {M,\,L\,,F} \right)$ τέμνει την

στο

.

: Ελάχιστη πλευρά σε ισόπλευρο.png (28.97 KiB) Προβλήθηκε 898 φορές

S.E.Louridas · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 26, 2024 1:59 pm
Ελάχιστη πλευρά ισοπλεύρου.png
Σε ημικύκλιο διαμέτρου θεωρώ σημείο ώστε $C\widehat AB=30^\circ$ και έστω τυχόν σημείο της πλευράς
α) Να κατασκευάσετε ισόπλευρο τρίγωνο με τις κορυφές του επί των πλευρών
β) Να προσδιορίσετε τη θέση του ώστε η πλευρά του ισοπλεύρου να είναι η ελάχιστη δυνατή.

Μία "παραβατική" αλλά Μαθηματική κατά την άποψη μας άποψη.

Αν θεωρήσουμε το ισόπλευρο τρίγωνο KLM

σταθερό, τότε η μεν κορυφή

θα κινείται σε τόξο κύκλου (M_1 , LK)

(Αν

είναι

το συμμετρικό του

ως προς την ευθεία

) η δε κορυφή

σε ημικύκλιο κέντρου

διαμέτρου

που βρίσκεται στο

άλλο ημιεπίπεδο με βάση την

από εκείνο που βρίσκεται το ισόπλευρο τρίγωνο KLM.

Το μέγιστο ευθύγραμμο τμήμα

επιτυγχάνεται όταν είναι παράλληλο στην FM_1

.

Με γνώμονα τώρα την «άγια ομοιότητα» πάμε άμεσα στο πρόβλημα μας, όπου πλέον στο μέγιστο που είδαμε με βάση

το σταθερό ισόπλευρο τρίγωνο που πήραμε, αντιστοιχίζεται το ζητούμενο ελάχιστο στο πρόβλημα του Γιώργου που έλυσε με

Άριστο τρόπο ο Νίκος.

: MAX TR.png (125.37 KiB) Προβλήθηκε 868 φορές

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 26, 2024 1:59 pm
Ελάχιστη πλευρά ισοπλεύρου.png
Σε ημικύκλιο διαμέτρου θεωρώ σημείο ώστε $C\widehat AB=30^\circ$ και έστω τυχόν σημείο της πλευράς

α) Να κατασκευάσετε ισόπλευρο τρίγωνο με τις κορυφές του επί των πλευρών

β) Να προσδιορίσετε τη θέση του ώστε η πλευρά του ισοπλεύρου να είναι η ελάχιστη δυνατή.

Για το δεύτερο μετά από επανεξέταση .

Θέτω $KF = k\,\,,\,\,FB = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KM = y$ θα ισχύουν ταυτόχρονα :

$\left\{ \begin{gathered} k + x = LF \hfill \\ {y^2} = {x^2} + {k^2} + kx \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Ελάχιστη πλευρά _b_ok.png (25.97 KiB) Προβλήθηκε 775 φορές

Από την ομοιότητα των $\vartriangle CAB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle LAF$ έχω : $LF = 7 - \dfrac{x}{2}$ κι έτσι από $k + x = LF \Rightarrow k = 7 - \dfrac{{3x}}{2}$ .

Η συνάρτηση : ${y^2} = f(x) = \dfrac{7}{4}\left( {{x^2} - 8x + 28} \right)$ παρουσιάζει ( θεωρεία τριωνύμου ) ελάχιστο για ${x_0} = 4\,\,$ .

$f\left( 4 \right) = 21$ άρα $\boxed{{y_{\min }} = \sqrt {21} }$

Ελάχιστη πλευρά ισοπλεύρου

Ελάχιστη πλευρά ισοπλεύρου

Re: Ελάχιστη πλευρά ισοπλεύρου

Re: Ελάχιστη πλευρά ισοπλεύρου

Re: Ελάχιστη πλευρά ισοπλεύρου

Μέλη σε σύνδεση