Σταθερό στην τρικυμία

KARKAR · #1

: Σταθερό στην αστάθεια.png (14.77 KiB) Προβλήθηκε 555 φορές

Οι πλευρές AB , AC , (AB < AC)

, του τριγώνου ABC

είναι σταθερές , αντίθετα με την

,

η οποία μεταβάλλεται . Η κάθετη προς την διχοτόμο

στο

, τέμνει την

στο σημείο

.

Δείξτε ότι το τμήμα

παραμένει σταθερό και υπολογίστε το , αν : AB=6 , AC=9

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 16, 2024 8:44 am
Σταθερό στην αστάθεια.pngΟι πλευρές , του τριγώνου είναι σταθερές , αντίθετα με την ,

η οποία μεταβάλλεται . Η κάθετη προς την διχοτόμο στο , τέμνει την στο σημείο .

Δείξτε ότι το τμήμα παραμένει σταθερό και υπολογίστε το , αν : .

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ADS

θέλουμε να αποδείξουμε ότι το $\dfrac {AD}{\cos (A/2)}$ εξαρτάται μόνο από τα b,c

.

Από την προφανή ισότητα (ABC)=(ABD)+(ACD)

έχουμε

$\dfrac {1}{2}bc\sin A = \dfrac {1}{2}bd\sin \frac {A}{2} + \dfrac {1}{2}cd\sin \frac {A}{2}$ . Άρα

$bc\sin \frac {A}{2} \cos \frac {A}{2}= \dfrac {1}{2}(b+c)d\sin \frac {A}{2}$ και άρα

$\boxed {AS = \dfrac {d}{\cos \frac {A}{2} }= \dfrac {2bc}{b+c}}$ (σταθερό)

To αριθμητικό παράδειγμα δίνει $AS= 7\frac {1}{5}$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 16, 2024 8:44 am
Οι πλευρές , του τριγώνου είναι σταθερές , αντίθετα με την ,

η οποία μεταβάλλεται . Η κάθετη προς την διχοτόμο στο , τέμνει την στο σημείο .

Δείξτε ότι το τμήμα παραμένει σταθερό και υπολογίστε το , αν : .

Αλλιώς.

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ADS

θέλουμε να αποδείξουμε ότι το $\dfrac {AD}{\cos (A/2)}$ εξαρτάται μόνο από τα b,c

.

Είναι γνωστό (βγαίνει π.χ. με Stewart αλλά βλέπε και εδώ για δύο ακόμη αποδείξεις) ότι

$AD^2 = \dfrac {bc}{(b+c)^2}((b+c)^2-a^2)$

Επίσης, από τον Νόμο των Συνημιτόνων έχουμε

$\cos ^2\frac {A}{2} =\dfrac {1}{2} ( \cos A+1)= \dfrac {1}{2} \left ( \dfrac {b^2+c^2-a^2}{2bc}+1\right )= \dfrac {(b+c)^2-a^2}{4bc}$

Αν διαιρέσουμε κατά μέλη έπεται $\dfrac {AD^2}{\cos ^2(A/2)} = \dfrac {4b^2c^2 }{(b+c)^2}$ , από όπου το ζητούμενο.

Το αριθμητικό παράδειγμα είναι άμεσο. Δίνει $AS= 7\frac {1}{5}$ .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 16, 2024 8:44 am
Σταθερό στην αστάθεια.pngΟι πλευρές , του τριγώνου είναι σταθερές , αντίθετα με την ,

η οποία μεταβάλλεται . Η κάθετη προς την διχοτόμο στο , τέμνει την στο σημείο .

Δείξτε ότι το τμήμα παραμένει σταθερό και υπολογίστε το , αν : .

Αλλιώς. Φέρνω $BT\bot AD,$ οπότε AT=c, TC=b-c.

: Σταθερό στην τρικυμία.png (10.69 KiB) Προβλήθηκε 533 φορές

$\displaystyle \frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{CS}}{{CT}} \Leftrightarrow \frac{b}{{b + c}} = \frac{{CS}}{{b - c}} \Leftrightarrow CS = \frac{{b(b - c)}}{{b + c}} \Rightarrow AS = b - CS = \frac{{2bc}}{{b + c}},$

που είναι σταθερό. Στο παράδειγμα $\boxed{AS=\frac{36}{5}}$

Για c=3k, b=6k, k

ακέραιος, βγαίνει και το AS=4k

ακέραιος.

STOPJOHN · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 16, 2024 8:44 am
Σταθερό στην αστάθεια.pngΟι πλευρές , του τριγώνου είναι σταθερές , αντίθετα με την ,

η οποία μεταβάλλεται . Η κάθετη προς την διχοτόμο στο , τέμνει την στο σημείο .

Δείξτε ότι το τμήμα παραμένει σταθερό και υπολογίστε το , αν : .

$AD\perp ES,AE=AS=x,AB=\lambda ,AC=\mu ,AS=x$

Με Μενέλαο στο τρίγωνο

ABC

$\dfrac{CD}{BD}.\dfrac{EB}{EA}.\dfrac{AS}{SC}=1\Leftrightarrow x=\dfrac{2\lambda \mu }{\lambda +\mu },x=\dfrac{36}{5}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 16, 2024 8:44 am
Σταθερό στην αστάθεια.pngΟι πλευρές , του τριγώνου είναι σταθερές , αντίθετα με την ,

η οποία μεταβάλλεται . Η κάθετη προς την διχοτόμο στο , τέμνει την στο σημείο .

Δείξτε ότι το τμήμα παραμένει σταθερό και υπολογίστε το , αν : .

Με

μέσον της $AS \Rightarrow AS=2DM$ και DM//AB

.Άρα

$\dfrac{DM}{c}= \dfrac{CD}{CD+BD}= \dfrac{1}{1+ \dfrac{BD}{CD} }= \dfrac{1}{1+ \dfrac{c}{b} } \Rightarrow 2DO=AS= \dfrac{2bc}{b+c}$

: Σταθερό.....png (13.73 KiB) Προβλήθηκε 521 φορές

Ιστοσελίδα · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 16, 2024 8:44 am
Οι πλευρές , του τριγώνου είναι σταθερές , αντίθετα με την ,

η οποία μεταβάλλεται . Η κάθετη προς την διχοτόμο στο , τέμνει την στο σημείο .

Δείξτε ότι το τμήμα παραμένει σταθερό και υπολογίστε το , αν : .

: shape.png (21.75 KiB) Προβλήθηκε 499 φορές

Το τετράπλευρο ASEK

είναι ρόμβος και τα τρίγωνα KDB,SDT

είναι ίσα.

Από τα όμοια τρίγωνα CST,CAB

προκύπτει η τιμή της AS = x

, η οποία είναι ανεξάρτητη της

.

#8

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 16, 2024 8:44 am
Σταθερό στην αστάθεια.pngΟι πλευρές , του τριγώνου είναι σταθερές , αντίθετα με την ,

η οποία μεταβάλλεται . Η κάθετη προς την διχοτόμο στο , τέμνει την στο σημείο .

Δείξτε ότι το τμήμα παραμένει σταθερό και υπολογίστε το , αν : .

Ας είναι

το συμμετρικό του

ως προς την

και

του

, πάλι , προς την AD.

Θέτω : $ES = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SC = y$ .

Προφανώς τα $\vartriangle ABE\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle ATS$ είναι ισοσκελή με κοινή κορυφή το

Επειδή :

: Σταθερό στην τρικυμία.png (19.86 KiB) Προβλήθηκε 471 φορές

$\left\{ \begin{gathered} x + y = b - c \hfill \\ \frac{x}{y} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ έχω , $\left\{ \begin{gathered} x = c - \frac{{2{c^2}}}{{b + c}} \hfill \\ y = \frac{{b\left( {b - c} \right)}}{{b + c}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{AS = x + c = \frac{{2bc}}{{b + c}}}$ σταθερό . Ειδικά δε για $b = 9\,\,\kappa \alpha \iota \,\,c = 6,$ $\boxed{AS = \frac{{2 \cdot 6 \cdot 9}}{{15}} = \frac{{36}}{5}}$

KARKAR · #9

: Σταθερό στην αστάθεια.png (24.73 KiB) Προβλήθηκε 446 φορές

Βάζω και το σχήμα της ημετέρας λύσης ( μιας και το είχα έτοιμο ...)

Σταθερό στην τρικυμία

Σταθερό στην τρικυμία

Re: Σταθερό στην τρικυμία

Re: Σταθερό στην τρικυμία

Re: Σταθερό στην τρικυμία

Re: Σταθερό στην τρικυμία

Re: Σταθερό στην τρικυμία

Re: Σταθερό στην τρικυμία

Re: Σταθερό στην τρικυμία

Re: Σταθερό στην τρικυμία

Μέλη σε σύνδεση