Τρεις μεσοκάθετοι

[KARKAR]

Τρεις μεσοκάθετοι.png (14 KiB) Προβλήθηκε 332 φορές

Σημείο κινείται στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου . Οι μεσοκάθετοι

των , τέμνουν την μεσοκάθετο του στα σημεία αντίστοιχα . α) Υπολογίστε το .

β) Αν επιπλέον δίνεται ότι : , βρείτε θέση του , για την οποία είναι : .

[Mihalis_Lambrou]

Τρεις μεσοκάθετοι.pngΣημείο κινείται στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου . Οι μεσοκάθετοι

των , τέμνουν την μεσοκάθετο του στα σημεία αντίστοιχα . α) Υπολογίστε το .

β) Αν επιπλέον δίνεται ότι : , βρείτε θέση του , για την οποία είναι : .

.
Γράφω λύση για το πρώτο και πιο ενδιαφέρον μέρος, έχω όμως λύση και για το δεύτερο. Ίσως αργότερα.

Το μυστικό είναι ότι το μήκος της είναι σταθερό, και ίσο με το μισό του μήκους της (προφανές).

Φέρνουμε από το την κάθετη . Είναι τότε ίσον σταθερό. Έχουμε λοιπόν ένα κάτω φράγμα για το . Όμως αυτό το κάτω φράγμα μπορούμε να το πετύχουμε αν πάρουμε το στην θέση του ίχνους του ύψους . Είναι τότε τα μέσα των και άρα οι μεσοκάθετες διέρχονται από τα μέσα των αντίστοιχα, και η είναι μεσοκάθετος της (πράσινα τμήματα στο σχήμα). Τελικά .
.

[Mihalis_Lambrou]

Για το β). Χρησιμοποιώ το γεγονός ότι τα είναι τα κέντρα των περιγεγραμμένων κύκλων των και άρα .

Άρα





Αν τώρα θέλουμε τότε είναι . Γράφουμε λοιπόν κύκλο κέντρου και ακτίνας . Τα δύο σημεία που τέμνει την είναι τα ζητούμενα .

Συμπληρωματικό σχόλιο στο προηγούμενο ποστ: Είδαμε στο εδώ ποστ ότι . Επειδή το είναι σταθερό, σημαίνει ότι το γίνεται ελάχιστο όταν το είναι ελάχιστο. Αλλά αυτό συμβαίνει όταν το είναι ύψος. Δηλαδή ξαναβρίσκουμε το συμπέρασμα στο ποστ #2.
.