Δυσπρόσιτο μέσο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 17512
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Δυσπρόσιτο μέσο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Αύγ 27, 2025 6:30 pm

Δυσπρόσιτο μέσο.png
Δυσπρόσιτο μέσο.png (11.97 KiB) Προβλήθηκε 700 φορές
Στο ειδικό ορθογώνιο τρίγωνο ABC του σχήματος , εντοπίστε σημείο S στην προέκταση της υποτείνουσας BC ,

τέτοιο ώστε , αν για το σημείο T της AB είναι ST=BC , το μέσο M της ST να είναι σημείο της AC .


Λέξεις Κλειδιά:
δυσπρόσιτο
ειδικό-ορθογώνιο
Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18287
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Δυσπρόσιτο μέσο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Αύγ 28, 2025 12:36 am

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 27, 2025 6:30 pm
 Στο ειδικό ορθογώνιο τρίγωνο ABC του σχήματος , εντοπίστε σημείο S στην προέκταση της υποτείνουσας BC ,

τέτοιο ώστε , αν για το σημείο T της AB είναι ST=BC , το μέσο M της ST να είναι σημείο της AC .
.
dispr.png
dispr.png (11.09 KiB) Προβλήθηκε 652 φορές
.
Θέτουμε AB=b, οπότε BC= \dfrac {b}{\cos 30}= \dfrac {2b}{\sqrt 3}. Έστω ότι βρήκαμε τις θέσεις των S,T έτσι ώστε ST=BC=\dfrac {2b}{\sqrt 3} και το μέσον M της ST είναι επί της AC. Τότε αν D η προβολή του S στην AB, θα έχουμε TA=AD =x, το οποίο x ψάχνουμε να βρούμε.

Είναι SD= BD\tan 30= (DA+AD) \tan 30 = (b+x) \dfrac {\sqrt 3}{3}. Από το Πυθαγόρειο στο TDS έχουμε TD^2+SD^2=ST^2, που σημαίνει

(2x)^2+\left ((b+x) \dfrac {\sqrt 3}{3} \right ) ^2= \left (\dfrac {2b}{\sqrt 3} \right ) ^2. Λύνοντας θα βρούμε \boxed {x= \dfrac {1}{13}(-1+2\sqrt {10})b}.

Τώρα δουλεύουμε ανάποδα: Αφού βρούμε το T από την TA=x, ορίζουμε το D ως AD=TA και ορίζουμε το S ως την τομή της BC και της καθέτου στο D. Τα παραπάνω μα εξασφαλίζουν ότι ST=BC και ότι το μέσον της ST είναι κάθετα πάνω από το A.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10787
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Δυσπρόσιτο μέσο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Αύγ 29, 2025 1:02 am

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 27, 2025 6:30 pm
 Δυσπρόσιτο μέσο.pngΣτο ειδικό ορθογώνιο τρίγωνο ABC του σχήματος , εντοπίστε σημείο S στην προέκταση της υποτείνουσας BC ,

τέτοιο ώστε , αν για το σημείο T της AB είναι ST=BC , το μέσο M της ST να είναι σημείο της AC .
Υπόδειξη

Έστω λυμένο το πρόβλημα.

Θέτω MC = k. Φέρνω στο T επί την AB που τέμνει την BC στο E, Ας είναι ακόμα BT = m.

Θα ισχύουν : ET = 2k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,m = \sqrt {16{k^2} - 4{k^2}} = 2\sqrt 3 k. Ο λόγος \dfrac{{BT}}{{MC}} = 2\sqrt 3 και σύμφωνα με τα σημεία Petersen

(Θέμα 16 - Αρίστου Δημητρίου) , οι κύκλοι \left( {A,B,C} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {A,T,M} \right) τέμνονται σε σταθερό σημείο P και ισχύει :

\dfrac{{PB}}{{PC}} = 2\sqrt 3 .
Δυσπρόσιτο μέσο_Petersen.png
Δυσπρόσιτο μέσο_Petersen.png (40.34 KiB) Προβλήθηκε 612 φορές
Κατασκευή

Με τη βοήθεια του κύκλου του Απολλώνιου προσδιορίζω τα P\,\,,\,\,Q που τέμνονται οι κύκλοι , \left( {A,B\,,\,C} \right) και ο


Απολλώνιος που προανέφερα . Η PQ τέμνει την AC στο M και ο κύκλος , \left( {P,A,M} \right) την AB ακόμα στο , T


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης