Μέσω του μέσου της διαμέσου

KARKAR · #1

: Μέσω του μέσου της διαμέσου.png (11.48 KiB) Προβλήθηκε 1623 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, είναι : $AB=8 , BC=9 , CA=7\sqrt{2}$ . Φέρουμε τα

ύψη BD , CE

. Δείξτε ότι η

, διέρχεται από το μέσο

της διαμέσου

.

Dimessi · #2

Με $Q\equiv ED\cap BC$ η ευθεία

είναι η πολική του

ως προς τον κύκλο (BEDC)

κέντρου

οπότε $QH \perp AM.$

Αυτό σημαίνει ότι το

ανήκει στους κύκλους (ADHE)

και

Επειδή

εφαπτόμενα τμήματα στον κύκλο (ADYHE)

η σημειοσειρά (A,S,Y,M)

είναι αρμονική οπότε $\displaystyle \frac{AS}{AM}=\frac{YS}{YM}.$
$\left ( \ast \right )$

Τώρα $\displaystyle AY\cdot AM\overset{MYHX\epsilon \gamma \gamma \varrho \alpha \psi \iota \mu o}=AH\cdot AX \overset{CDHX\epsilon \gamma \gamma \varrho \alpha \psi \iota \mu o}= AD \cdot AC \overset{Pow\left ( A, c:\left ( M,MB \right ) \right )} = AM^{2}-MB^{2}.$

Τω λοιπόν $\displaystyle \frac{AS}{YS}=\frac{AM}{YM}=\frac{AM}{AM-\frac{AM^{2}-MB^{2}}{AM}}=\frac{AM^{2}}{MB^{2}}=\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{a^{2}}\Longrightarrow \frac{AS}{AY}=\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{2b^{2}+2c^{2}}.$
$\left ( \ast \ast \right )$

Κτυπώντας $\displaystyle \frac{AY}{AM}=\frac{AM^{2}-MB^{2}}{AM^{2}}=\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}-a^{2}}{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}\overset{\left ( \ast \ast \right )}\Longrightarrow \frac{AS}{AM}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{b^{2}+c^{2}}\Longrightarrow \frac{MS}{AM}=\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}} .$
$\left ( \diamond \right )$

Οπότε γενικεύεται μέσω της σχέσης b^2+c^2=2a^2

που στην προκειμένη περίπτωση όντως ισχύει. Καψόνια μας κάνεις κ. Θανάση

: Μέσω του μέσου της διαμέσου.png (58.75 KiB) Προβλήθηκε 1596 φορές

#3

Dimessi έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 29, 2025 9:38 pm
Με $Q\equiv ED\cap BC$ η ευθεία είναι η πολική του ως προς τον κύκλο κέντρου

οπότε $QH \perp AM.$

Αυτό σημαίνει ότι το ανήκει στους κύκλους και

Επειδή εφαπτόμενα τμήματα στον κύκλο η σημειοσειρά είναι αρμονική οπότε $\displaystyle \frac{AS}{AM}=\frac{YS}{YM}.$
$\left ( \ast \right )$

Τώρα $\displaystyle AY\cdot AM\overset{MYHX\epsilon \gamma \gamma \varrho \alpha \psi \iota \mu o}=AH\cdot AX \overset{CDHX\epsilon \gamma \gamma \varrho \alpha \psi \iota \mu o}= AD \cdot AC \overset{Pow\left ( A, c:\left ( M,MB \right ) \right )} = AM^{2}-MB^{2}.$

Τω λοιπόν $\displaystyle \frac{AS}{YS}=\frac{AM}{YM}=\frac{AM}{AM-\frac{AM^{2}-MB^{2}}{AM}}=\frac{AM^{2}}{MB^{2}}=\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{a^{2}}\Longrightarrow \frac{AS}{AY}=\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{2b^{2}+2c^{2}}.$
$\left ( \ast \ast \right )$

Κτυπώντας $\displaystyle \frac{AY}{AM}=\frac{AM^{2}-MB^{2}}{AM^{2}}=\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}-a^{2}}{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}\overset{\left ( \ast \ast \right )}\Longrightarrow \frac{AS}{AM}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{b^{2}+c^{2}}\Longrightarrow \frac{MS}{AM}=\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}} .$
$\left ( \diamond \right )$

Οπότε γενικεύεται μέσω της σχέσης που στην προκειμένη περίπτωση όντως ισχύει. Καψόνια μας κάνεις κ. Θανάση

Μέσω του μέσου της διαμέσου.png

Για την γενίκευση και για τον τρόπο λύσης .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 29, 2025 6:43 pm
Μέσω του μέσου της διαμέσου.pngΣτο τρίγωνο , είναι : $AB=8 , BC=9 , CA=7\sqrt{2}$ . Φέρουμε τα

ύψη . Δείξτε ότι η , διέρχεται από το μέσο της διαμέσου .

Ας είναι

το ορθόκεντρο του $\vartriangle ABC$ και

, το προς την

ύψος του. Το σημείο τομής των $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ED$ έστω

.

Η πολική του

ως προς τις ευθείες $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ είναι η ευθεία ,

και συνεπώς η τετράδα $\left( {B,C\backslash J,K} \right)$ είναι αρμονική .

(Κατασκευή πολικής σημείου ως προς δύο ευθείες ή με πλήρες τετράπλευρο ,

Ευκλείδεια Γεωμετρία Επίπεδος , Σ. Κανέλλου Εκδόσεις Παπαδημητρόπουλου 1970

, σελίδα

)

: μέσο του μέσου της διαμέσου_Μενέλαος.png (21.18 KiB) Προβλήθηκε 1511 φορές

Θέτω $JB = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KB = m$ . Η αρμονική αναλογία , $\dfrac{{BK}}{{BM}} = \dfrac{{CK}}{{CM}}$ γράφεται: $\dfrac{m}{x} = \dfrac{{9 - m}}{{9 + x}} \Rightarrow x = \dfrac{{9m}}{{9 - 2m}}\,\,\,\left( 1 \right)$ .

Εκφράζω το $\cos B$ με δύο τρόπους ( Θ συνημίτονου και ορισμό) κι έχω ,

$\cos B = \dfrac{{{8^2} + {9^2} - {{\left( {7\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{2 \cdot 8 \cdot 9}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\cos B = \dfrac{m}{8}$ άρα , $m = \dfrac{{47}}{{18}}$ $\left( 2 \right)$ ομοίως δε $AE = \dfrac{{81}}{{16}}\,\,\,\left( 3 \right)$ .

Από τις $\left( 1 \right)\,\,,\,\,\left( 2 \right)$ προκύπτει $JB = x = \dfrac{{423}}{{68}}\,\,\,\left( 4 \right)$ κι έτσι , $JM = x + m = \dfrac{{729}}{{68}}\,\,\,\left( 5 \right)$ . Ενώ $EB = 8 - \dfrac{{81}}{{16}} = \dfrac{{47}}{{16}}\,\,\,\,\left( 6 \right)$

Τώρα από Θ. Μενελάου στο $\vartriangle ABM$ με διατέμνουσα την $\overline {JES}$ έχω : $\dfrac{{AE}}{{EB}} \cdot \dfrac{{BJ}}{{JM}} \cdot \dfrac{{MS}}{{SA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{81}}{{47}} \cdot \dfrac{{423}}{{729}} \cdot \dfrac{{MS}}{{SA}} = 1 \Rightarrow MS = SA$ .

ksofsa · #5

Διαφορετικά (δε βάζω σχήμα, γιατί δεν κάνω ουσιαστικές αλλαγές):

Αν η παράλληλη από το

στην

τέμνει τις AB,AC

στα

, τότε αρκεί να δείξουμε ότι $SN=SL=\dfrac{BC}{4}$ , κι επειδή το ENDL

εγγράψιμο, αρκεί ισοδύναμα να δειχθεί ότι $ES\cdot SD=\dfrac{BC^2}{16}=\dfrac{81}{16}$ .

Από νόμο συνημιτόνων $cosA=\dfrac{81\sqrt{2}}{224}$ .

$AD=ABcosA=\dfrac{81\sqrt{2}}{28}$

$AE=ACcosA=\dfrac{81}{16}$

Η

συμμετροδιάμεσος του τριγώνου AED

, οπότε $\dfrac{ES}{SD}=\dfrac{AE^2}{AD^2}=\dfrac{49}{32}$ .

Ακόμη, λόγω ομοιότητας των ADE, ABC

, είναι $\dfrac{AE}{ES+SD}=\dfrac{AC}{BC}\Leftrightarrow ES+SD=\dfrac{729}{112\sqrt{2}}$ .

Λύνοντας το σύστημα για ES,SD

βρίσκουμε $ES=\dfrac{63}{16\sqrt{2}},SD=\dfrac{18}{7\sqrt{2}}\Rightarrow ES\cdot SD=\dfrac{81}{16}$ , όπως θέλαμε.

Dimessi · #6

ksofsa έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 30, 2025 8:47 pm
Διαφορετικά (δε βάζω σχήμα, γιατί δεν κάνω ουσιαστικές αλλαγές):

Αν η παράλληλη από το στην τέμνει τις στα , τότε αρκεί να δείξουμε ότι $SN=SL=\dfrac{BC}{4}$ , κι επειδή το εγγράψιμο, αρκεί ισοδύναμα να δειχθεί ότι $ES\cdot SD=\dfrac{BC^2}{16}=\dfrac{81}{16}$ .

Από νόμο συνημιτόνων $cosA=\dfrac{81\sqrt{2}}{224}$ .

$AD=ABcosA=\dfrac{81\sqrt{2}}{28}$

$AE=ACcosA=\dfrac{81}{16}$

Η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου , οπότε $\dfrac{ES}{SD}=\dfrac{AE^2}{AD^2}=\dfrac{49}{32}$ .

Ακόμη, λόγω ομοιότητας των , είναι $\dfrac{AE}{ES+SD}=\dfrac{AC}{BC}\Leftrightarrow ES+SD=\dfrac{729}{112\sqrt{2}}$ .

Λύνοντας το σύστημα για βρίσκουμε $ES=\dfrac{63}{16\sqrt{2}},SD=\dfrac{18}{7\sqrt{2}}\Rightarrow ES\cdot SD=\dfrac{81}{16}$ , όπως θέλαμε.

Το σχήμα στην πολύ ωραία λύση του Κώστα με το θεώρημα κεντρικής δέσμης

: ksofsa.png (45.78 KiB) Προβλήθηκε 1465 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 29, 2025 6:43 pm
Μέσω του μέσου της διαμέσου.pngΣτο τρίγωνο , είναι : $AB=8 , BC=9 , CA=7\sqrt{2}$ . Φέρουμε τα

ύψη . Δείξτε ότι η , διέρχεται από το μέσο της διαμέσου .

Είναι $cos^2A= \dfrac{AD}{AB}. \dfrac{AE}{AC} \Rightarrow AD.AE=56 \sqrt{2} cos^2A \Rightarrow 2(AED) = 56 \sqrt{2} cos^2A .sinA (1)$

$\angle \phi =2 \angle \theta =2(90^0-A)=180^0-2A \Rightarrow sin \varphi =sin2A=2sinA.cosA$ .

Άρα $2(EMD)=ME^2.2sinAcosA= \dfrac{81}{2} sinA.cosA (2)$

$\dfrac{(1)}{(2)} \Rightarrow \dfrac{(ADE)}{(EMD)}= \dfrac{56 \sqrt{2}cosA }{ \dfrac{81}{2} }=1 \Rightarrow AS=SM$

(Αφού $cosA= \dfrac{81 \sqrt{2} }{224}$ από ν.συνημιτόνου στο τρίγωνο ABC

)

: Μέσω του μέσου της διαμέσου..png (24.98 KiB) Προβλήθηκε 1385 φορές

#8

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 29, 2025 6:43 pm
Μέσω του μέσου της διαμέσου.pngΣτο τρίγωνο , είναι : $AB=8 , BC=9 , CA=7\sqrt{2}$ . Φέρουμε τα

ύψη . Δείξτε ότι η , διέρχεται από το μέσο της διαμέσου .

Στην υπ’ αριθ

ανάρτηση έχουν υπολογιστεί :

$JB = \dfrac{{423}}{{68}},\,\,JM = \dfrac{{729}}{{68}},\,\,AE = \dfrac{{81}}{{16}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EB = \dfrac{{47}}{{16}}$ . Όμοια υπολογίζω , $AD = \dfrac{{81\sqrt 2 }}{{28}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = \dfrac{{115\sqrt 2 }}{{28}}$ και άρα $\dfrac{{AD}}{{DC}} = \dfrac{{81}}{{115}}\,\,\,\left( * \right)$

: Μέσω του μέσου της διαμέσου_new.png (27.69 KiB) Προβλήθηκε 1330 φορές

Έστω $P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Q$ οι τομές των

$BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ED$ με την από το

προς τη

.

Επειδή $\dfrac{{AQ}}{{JC}} = \dfrac{{AD}}{{DC}} \Rightarrow \dfrac{{AQ}}{{JB + BC}} = \dfrac{{81}}{{115}} \Rightarrow \boxed{AQ = \dfrac{{729}}{{68}} = JM}$

μας εξασφαλίζει ότι το τετράπλευρο , AJMQ

είναι παραλληλόγραμμο , άρα AS = SM

.

Nikitas K. · #9

: Μέσω του μέσου της διαμέσου.png (40.64 KiB) Προβλήθηκε 1177 φορές

$\lambda_{AB} = \dfrac{b}{a} \quad \color{blue} (0)$

$\lambda_{CE} = \dfrac{p\lambda_{AB}}{p-2m} \quad \color{blue} (1)$

Από $AB \perp CE$ έχουμε:

$\lambda_{AB} \cdot \lambda_{CE}= -1 \overset{{\color{blue}(1)}}\Leftrightarrow p = \dfrac{2m}{\lambda_{AB}^2 + 1} \quad \color{blue}(2)$

$\lambda_{AC} = \dfrac{b}{a-2m} \quad \color{blue} (3)$

$\lambda_{BD} = \dfrac{\lambda_{AC} (q-2m)}{q} \quad \color{blue} (4)$

Από $AC\perp BD$ έχουμε:

$\displaystyle {\lambda_{AC} \cdot \lambda_{BD}= -1 \overset{{\color{blue}(4)}}\Leftrightarrow q = \dfrac{2m}{\dfrac{1}{\lambda_{AC}^2} + 1} \quad \color{blue}(5)}$

$\lambda_{ED} = \dfrac{\lambda_{AC}(q-2m) - p\lambda_{AB}}{q-p} \quad \color{blue} (6)$

$\lambda_{AM} = \dfrac{b}{a-m} \color{blue} (7)$

Το σημείο

προσδιορίζεται ως το σημείο τομής των ευθειών

και

άρα έχουμε:

$\displaystyle {\lambda_{AM} (s-m) = \lambda_{ED} (s-p) + p\lambda_{AB} \Leftrightarrow s = \dfrac{m\lambda_{AM}+ p (\lambda_{AB} - \lambda_{ED})}{\lambda_{AM} - \lambda_{ED}} \quad\color{blue}(8)}$

Για την ειδική περίπτωση της άσκησης:

Από BC = 9

έχουμε

και

ενώ από

και $AC = 7\sqrt{2}$ έχουμε ότι $A\left(\dfrac{47}{18}, \dfrac{\sqrt{18527}}{18}\right)$

Επομένως ισχύουν τα παρακάτω:

$\lambda_{AB} = \dfrac{\sqrt{18527}}{47}$

$p = \dfrac{2209}{2304}$

$\lambda_{AC} =- \dfrac{\sqrt{18527}}{115}$

$q = \dfrac{18527}{3528}$

$\lambda_{ED} = \dfrac{17\sqrt{18527}}{5983}$

$\lambda_{AM} = -\dfrac{\sqrt{18527}}{34}$

$s = \dfrac{32}{9}$

Άρα $S\left(\dfrac{32}{9}, \dfrac{\sqrt{18527}}{36}\right)$

Ελέγχουμε αν είναι όντως μέσο της

$\dfrac{\dfrac{47}{18}+ \dfrac{9}{2}}{2} = \dfrac{32}{9} = s$

$\dfrac{\dfrac{\sqrt{18527}}{18} + 0}{2} = \dfrac{\sqrt{18527}}{36}$ που ισούται με την τεταγμένη του

.

Συνεπώς το

είναι μέσο της

Μέσω του μέσου της διαμέσου

Μέσω του μέσου της διαμέσου

Re: Μέσω του μέσου της διαμέσου

Re: Μέσω του μέσου της διαμέσου

Re: Μέσω του μέσου της διαμέσου

Re: Μέσω του μέσου της διαμέσου

Re: Μέσω του μέσου της διαμέσου

Re: Μέσω του μέσου της διαμέσου

Re: Μέσω του μέσου της διαμέσου

Re: Μέσω του μέσου της διαμέσου

Μέλη σε σύνδεση