Τετραγωνική σταθερότητα

KARKAR · #1

: Τετραγωνική σταθερότητα.png (18.79 KiB) Προβλήθηκε 302 φορές

Η σταθερή χορδή

κύκλου

έχει απόστημα OD=h

. Συνδέουμε σημείο

, το οποίο κινείται

στον κύκλο , με το μέσο

του

. Υπολογίστε την παράσταση : AB^2+BC^2+CA^2-4AM^2

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 04, 2025 5:48 pm
Τετραγωνική σταθερότητα.pngΗ σταθερή χορδή κύκλου έχει απόστημα . Συνδέουμε σημείο , το οποίο κινείται

στον κύκλο , με το μέσο του . Υπολογίστε την παράσταση : .

.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 04, 2025 5:48 pm
Τετραγωνική σταθερότητα.pngΗ σταθερή χορδή κύκλου έχει απόστημα . Συνδέουμε σημείο , το οποίο κινείται

στον κύκλο , με το μέσο του . Υπολογίστε την παράσταση : .

.

Επειδή οι AD, AM, OD

είναι και οι τρεις διάμεσοι, στα τρίγωνα $ABC, \, ADO, \, BDC$ , αντίστοιχα, έχουμε από το θεώρημα των διαμέσων τρεις φορές ότι

$2AM^2+\dfrac {OD^2}{2}= r^2+AD^2, \, 2AD ^2+ \dfrac {a^2}{2}=b^2+c^2, \, 2OD^2+ \dfrac {a^2 }{2}= r^2+r^2$ . Άρα

$8AM^2+2r^2 - \dfrac {a^2}{2} = 8AM^2 +2OD^2=4r^2+4AD^2 = 4r^2+(2b^2+2c^2- a^2)$ . Άρα

$a^2+b^2+c^2-4AM^2 = a^2+b^2+c^2- \left (r^2+b^2+c^2- \dfrac {a^2}{2} \right ) = \dfrac {5}{4} a^2- r^2$ . Αυτό απαντά στο πρόβλημα.

KARKAR · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 04, 2025 9:59 pm
$a^2+b^2+c^2-4AM^2 = \dfrac {5}{4} a^2- r^2$ .

Δεδομένου ότι : $\dfrac{a^2}{4}=r^2-h^2$ , καταλήγουμε στην : a^2+b^2+c^2-4AM^2 = 4r^2-5h^2

.

Δεν προσθέτουμε κάτι σπουδαίο αλλά αξιοποιούμε επακριβώς τα δεδομένα , εξαφανίζοντας και το κλάσμα

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 05, 2025 11:52 am

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 04, 2025 9:59 pm
$a^2+b^2+c^2-4AM^2 = \dfrac {5}{4} a^2- r^2$ .
Δεδομένου ότι : $\dfrac{a^2}{4}=r^2-h^2$ , καταλήγουμε στην : .

Δεν προσθέτουμε κάτι σπουδαίο αλλά αξιοποιούμε επακριβώς τα δεδομένα , εξαφανίζοντας και το κλάσμα

Θανάση, σωστά. Αλλά αφού η άσκηση δίνει το

σταθερό, θεώρησα ότι μπορεί η απάντηση να είναι συναρτήσει του BC=a

. Όπως και να είναι, η απάντηση με

είναι πληρέστερη.

Τετραγωνική σταθερότητα

Τετραγωνική σταθερότητα

Re: Τετραγωνική σταθερότητα

Re: Τετραγωνική σταθερότητα

Re: Τετραγωνική σταθερότητα

Re: Τετραγωνική σταθερότητα

Μέλη σε σύνδεση