Ειρωνικό εμβαδόν

KARKAR · #1

: Ειρωνικό εμβαδόν.png (6.25 KiB) Προβλήθηκε 144 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, το τμήμα που συνδέει το έγκεντρο

με το βαρύκεντρο

,

είναι παράλληλο προς την πλευρά

και έχει μήκος

. Αν :

, είναι οι προβολές

των E , G

αντίστοιχα στην υποτείνουσα

, υπολογίστε το (EE'G'G)

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 03, 2026 9:48 am
Ειρωνικό εμβαδόν.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , το τμήμα που συνδέει το έγκεντρο με το βαρύκεντρο ,

είναι παράλληλο προς την πλευρά και έχει μήκος . Αν : , είναι οι προβολές

των αντίστοιχα στην υποτείνουσα , υπολογίστε το .

Λόγω της παραλληλίας είναι $\displaystyle \frac{{AE}}{{ED}} = \frac{{AG}}{{GN}} = 2 \Leftrightarrow \frac{{a + b}}{c} = 2 \Leftrightarrow a + b = 2c$

Επειδή όμως a^2=b^2+c^2,

καταλήγω στην εξίσωση 5b^2+2ab-3a^2=0,

απ' όπου $b=\dfrac{4a}{5}, c=\dfrac{3a}{5}.$

: Ειρωνικό εμβαδόν.png (19.16 KiB) Προβλήθηκε 118 φορές

$\displaystyle \frac{{EG}}{{DN}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow DN = AN - AD = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{a}{2} - \frac{b}{2} = \frac{3}{2} \Rightarrow$ $\boxed{a=15, b=9, c=12}$

Φέρνω G'F//GE

και έστω $h=\dfrac{bc}{a}$ το ύψος του τριγώνου ABC.

$GG'=\dfrac{h}{3}=\dfrac{12}{5}, EE'=r=\tau-a=3$ και με Π.Θ στο E'FG',

$E'G'=\dfrac{4}{5}.$

Επομένως, $\boxed{(EE'G'G) = \frac{{EE' + GG'}}{2}E'G' = \frac{{54}}{{25}}}$

Γενικότερα (αν δεν δοθεί το μήκος του ) είναι $\displaystyle \frac{{(ABC)}}{{(EE'G'G)}} = 25.$

Ειρωνικό εμβαδόν

Ειρωνικό εμβαδόν

Re: Ειρωνικό εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση