Αρκετά μεγαλύτερο

KARKAR · #1

: Αρκετά μεγαλύτερο.png (19.25 KiB) Προβλήθηκε 142 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, είναι

. Δείξτε ότι : (ACT) > (ABS)

και βρείτε το μέγιστο της διαφοράς : (ACT) - (ABS)

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 06, 2026 8:19 pm
Αρκετά μεγαλύτερο.pngΣτο τρίγωνο , είναι . Δείξτε ότι : και βρείτε το μέγιστο της διαφοράς : .

$\displaystyle (ACT) - (ABS) = \frac{b}{a}(ABC) - \frac{c}{a}(ABC) = \frac{{b - c}}{a}(ABC) > 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{(ACT)>(ABS)}$

Αλλά, $\displaystyle (ABC) = \frac{{bc}}{2}\sin 60^\circ = \frac{{bc\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow (ACT) - (ABS) = \frac{{\sqrt 3 }}{{4a}}bc(b - c).$ Θέτω b=cx

και με νόμο συνημιτόνων βρίσκω $\displaystyle {a^2} = {c^2}({x^2} - x + 1) \Leftrightarrow c = \frac{a}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }},b = \frac{{ax}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}$

: Αρκετά μεγαλύτερο.png (11.13 KiB) Προβλήθηκε 109 φορές

Αντικαθιστώντας τις τιμές των b,c

έχω, $\displaystyle f(x) = (ACT) - (ABS) = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\left( {\frac{{{x^2} - x}}{{{{({x^2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}}}} \right)$

Με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκω ότι για $\boxed{x=2}$ η συνάρτηση παίρνει μέγιστη τιμή $\boxed{f(2)=\frac{a^2}{6}}$

Σε αυτή την περίπτωση όμως είναι b=2c,

οπότε $AB\bot BC.$

edit: Άρση απόκρυψης και λύση της άσκησης 11:20 am

#3

Καλημέρα σε όλους. Όντας βέβαιος, ότι ο αγαπητός Γιώργος, που έδωσε ήδη το στίγμα, θα έχει διαφορετική προσέγγιση, δίνω μια αμιγώς Τριγωνομετρική λύση.

: 07-02-2026 Γεωμετρία.jpg (19.9 KiB) Προβλήθηκε 101 φορές

$\displaystyle \left( {ACT} \right) - \left( {ABS} \right) = \frac{1}{2}\left( {{b^2}\eta \mu {C_{\varepsilon \xi }} - {c^2}\eta \mu {{\rm B}_{\varepsilon \xi }}} \right) = \frac{1}{2}\left( {{b^2}\eta \mu C - {c^2}\eta \mu {\rm B}} \right) = \frac{1}{2}\left( {{b^2}\eta \mu \omega - {c^2}\eta \mu \left( {\frac{{2\pi }}{3} - \omega } \right)} \right)$

$\displaystyle \widehat C > \widehat B \Rightarrow \omega < \frac{{2\pi }}{3} - \omega \Rightarrow \;\;\omega \in \left( {0,\;\frac{\pi }{3}} \right)$

Από Ν. Ημιτόνων, $\displaystyle {c^2} = \frac{{4{a^2}\eta {\mu ^2}\omega }}{3},\;\;{b^2} = \frac{{4{a^2}\eta {\mu ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)}}{3}$

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle f\left( \omega \right) = \frac{{2{a^2}}}{3}\eta \mu \omega \cdot \eta \mu \left( {\frac{{2\pi }}{3} - \omega } \right) \cdot \eta \mu \left( {\frac{\pi }{3} - \omega } \right)\;,\;\;\;\omega \in \left( {0,\frac{\pi }{3}} \right)$

Είναι $\displaystyle \eta \mu \omega \cdot \eta \mu \left( {\frac{\pi }{3} - \omega } \right) \le \eta {\mu ^2}\left( {\frac{{\frac{\pi }{3} - \omega + \omega }}{2}} \right) = \eta {\mu ^2}\frac{\pi }{6} = \frac{1}{4}$ και $\displaystyle \eta \mu \left( {\frac{{2\pi }}{3} - \omega } \right) \le 1$ .

Οι μέγιστες τιμές εμφανίζονται όταν $\displaystyle \omega = \frac{\pi }{6}$ , οπότε $\displaystyle f{\left( \omega \right)_{\max }} = \frac{{2{a^2}}}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{{{a^2}}}{6}$

Τότε, b = 2c

.

Αρκετά μεγαλύτερο

Αρκετά μεγαλύτερο

Re: Αρκετά μεγαλύτερο

Re: Αρκετά μεγαλύτερο

Μέλη σε σύνδεση