Καλολογικά στοιχεία

KARKAR · #1

: Καλολογικά στοιχεία.png (14.79 KiB) Προβλήθηκε 71 φορές

Στην προέκταση της ακτίνας

, του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , θεωρούμε σημείο

, τέτοιο ώστε :

AP=OA

και ονομάζω M , N

τα μέσα των OA , AP

αντίστοιχα . Σημείο

κινείται στο τόξο .

α) Δείξτε ότι ο λόγος : $\dfrac{SP}{SM}$ είναι σταθερός ( πόσο ; ) . β) Βρείτε θέση του

, ώστε : $\dfrac{SN}{SM}=\dfrac{3}{2}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 16, 2026 7:00 am
Καλολογικά στοιχεία.pngΣτην προέκταση της ακτίνας , του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε :

και ονομάζω τα μέσα των αντίστοιχα . Σημείο κινείται στο τόξο .

α) Δείξτε ότι ο λόγος : $\dfrac{SP}{SM}$ είναι σταθερός ( πόσο ; ) . β) Βρείτε θέση του , ώστε : $\dfrac{SN}{SM}=\dfrac{3}{2}$ .

: Καλολογικά στοιχεία.Κ.png (16.16 KiB) Προβλήθηκε 62 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 16, 2026 7:00 am
Καλολογικά στοιχεία.pngΣτην προέκταση της ακτίνας , του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε :

και ονομάζω τα μέσα των αντίστοιχα . Σημείο κινείται στο τόξο .

α) Δείξτε ότι ο λόγος : $\dfrac{SP}{SM}$ είναι σταθερός ( πόσο ; ) . β) Βρείτε θέση του , ώστε : $\dfrac{SN}{SM}=\dfrac{3}{2}$ .

Με αρχή των αξόνων το

είναι $A(R,0), \, M \left (\dfrac {1}{2},0 \right), \. P(2R,0), \, N \left (\dfrac {3}{2}R,0\right )$ και επίσης είναι S(a,b)

όπου

.

Άρα

$\dfrac{SP^2}{SM^2}= \dfrac {\left (a-2R \right)^2+b^2}{ \left (a-\dfrac {1}{2}R \right)^2+b^2 }= \dfrac {a^2-4aR + 4R^2+b^2}{ a^2-aR+ \dfrac {R^2}{4}+b^2 }= \dfrac {R^2-4aR + 4R^2}{ R^2-aR+\dfrac {R^2}{4} }= \dfrac {5R^2-4aR }{ \dfrac {5R^2}{4}-aR}= 4$

Άρα $\boxed {\dfrac{SP}{SM}=2}$ (σταθερό).

Επίσης θέλουμε

$\dfrac{9}{4}= \dfrac{SN^2}{SM^2}= \dfrac {\left (a-\dfrac {3}{2}R \right)^2+b^2 }{\left (a-\dfrac {1}{2}R \right)^2+b^2 } = \dfrac {a^2-3aR + \dfrac {9}{4}R^2+b^2}{ a^2-aR+ \dfrac {R^2}{4}+b^2 }= \dfrac {R^2-3aR + \dfrac {9}{4}R^2}{ R^2-aR+ \dfrac {R^2}{4}}= \dfrac {13R^2-12aR }{ 5R^2-4aR}$

Λύνοντας ώς προς

θα βρούμε $\boxed {a=\dfrac {7}{12}R}$ . Αυτό δίνει το

από την

και άρα τις συντεταγμένες του

.

Edit. Με πρόλαβε ο Γιώργος όσο έγραφα. Το αφήνω.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 16, 2026 7:00 am
Καλολογικά στοιχεία.pngΣτην προέκταση της ακτίνας , του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε :

και ονομάζω τα μέσα των αντίστοιχα . Σημείο κινείται στο τόξο .

α) Δείξτε ότι ο λόγος : $\dfrac{SP}{SM}$ είναι σταθερός ( πόσο ; ) . β) Βρείτε θέση του , ώστε : $\dfrac{SN}{SM}=\dfrac{3}{2}$ .

α) Θέτω

και με θεώρημα διαμέσων στα τρίγωνα OSP, OSA

έχω:

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} S{P^2} + 4{a^2} = 2S{A^2} + 8{a^2} \hfill \\ S{A^2} + 4{a^2} = 2S{M^2} + 2{a^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} S{P^2} = 2S{A^2} + 4{a^2} \hfill \\ 4S{M^2} = 2S{A^2} + 4{a^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow$ $\boxed{SP=2SM}$

: Καλολογικά στοιχεία.Κ.png (16.16 KiB) Προβλήθηκε 52 φορές

β) Με θεώρημα διαμέσων στο MSN

κι επειδή $SN=\dfrac{3}{2}SM,$ βρίσκω 13SM^2=8AS^2+8a^2.

Αλλά, από προηγούμενη εξίσωση είναι SA^2=2SM^2-2a^2,

οπότε $\boxed{SM=\dfrac{2a\sqrt 6}{3}}$

Καλολογικά στοιχεία

Καλολογικά στοιχεία

Re: Καλολογικά στοιχεία

Re: Καλολογικά στοιχεία

Re: Καλολογικά στοιχεία

Μέλη σε σύνδεση