Κύκλος σε ορθογώνιο τρίγωνο

KARKAR · #1

: Κύκλος σε ορθογώνιο τρίγωνο.png (15.15 KiB) Προβλήθηκε 105 φορές

Στην κάθετη πλευρά

του ορθογωνίου τριγώνου ABC

, θεωρούμε σημείο

, τέτοιο ώστε : $AN=\dfrac{AC}{3}$ . Η

τέμνει την διάμεσο

προς την υποτείνουσα , στο σημείο

. α) Δείξτε ότι το

εφάπτεται του κύκλου (M , S , B)

.

β) Βρείτε ιδιότητα του τριγώνου ABC

, ικανή να "οδηγήσει" το κέντρο του παραπάνω κύκλου , πάνω στην πλευρά

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 17, 2026 9:53 am
Κύκλος σε ορθογώνιο τρίγωνο.pngΣτην κάθετη πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου , θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε : $AN=\dfrac{AC}{3}$ . Η
τέμνει την διάμεσο προς την υποτείνουσα , στο σημείο . α) Δείξτε ότι το εφάπτεται του κύκλου .

β) Βρείτε ιδιότητα του τριγώνου , ικανή να "οδηγήσει" το κέντρο του παραπάνω κύκλου , πάνω στην πλευρά .

: Κύκλος σε ορθογώνιο τρίγωνο.png (16.39 KiB) Προβλήθηκε 91 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 17, 2026 9:53 am
Κύκλος σε ορθογώνιο τρίγωνο.pngΣτην κάθετη πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου , θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε : $AN=\dfrac{AC}{3}$ . Η
τέμνει την διάμεσο προς την υποτείνουσα , στο σημείο . α) Δείξτε ότι το εφάπτεται του κύκλου .

β) Βρείτε ιδιότητα του τριγώνου , ικανή να "οδηγήσει" το κέντρο του παραπάνω κύκλου , πάνω στην πλευρά .

α) Με Π.Θ στο MTN

είναι $\displaystyle N{M^2} = \frac{{{c^2}}}{4} + \frac{{{b^2}}}{{36}} = \frac{{{b^2} + 9{c^2}}}{{36}}$

Από Μενέλαο στο NBC

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {ASM},$ βρίσκω $\displaystyle NS = \frac{1}{3}SB \Leftrightarrow NS = \frac{{NB}}{4}$

$\displaystyle NS \cdot NB = \frac{{N{B^2}}}{4} = \frac{{A{N^2} + A{B^2}}}{4} = \frac{{{b^2} + 9{c^2}}}{{36}} = N{M^2},$ άρα η

εφάπτεται του κύκλου.

: Κύκλος σε ορθογώνιο τρίγωνο.b.png (17.41 KiB) Προβλήθηκε 47 φορές

β) Με Μενέλαο στο AMC

και διατέμνουσα $\overline {BSN}$ διαπιστώνω ότι το

είναι μέσο του AM.

$\displaystyle AS \cdot AM = AP \cdot AB \Leftrightarrow \frac{a}{4} \cdot \frac{a}{2} = (c - 2r)c \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{{b^2} + {c^2}}}{8} = {c^2} - 2rc}$ (1)

$\displaystyle N{M^2} = N{O^2} - {r^2} \Leftrightarrow \frac{{{b^2} + 9{c^2}}}{{36}} = \frac{{{b^2}}}{9} + {(c - r)^2} - {r^2}\mathop = \limits^{(1)} \frac{{{b^2}}}{9} + \frac{{{b^2} + {c^2}}}{8} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{b}{c}=\sqrt{\frac{3}{5}}}$

Κύκλος σε ορθογώνιο τρίγωνο

Κύκλος σε ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Κύκλος σε ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Κύκλος σε ορθογώνιο τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση