Από το κέντρο ως το μέσο

KARKAR · #1

: Από το κέντρο ως το μέσο.png (19.41 KiB) Προβλήθηκε 66 φορές

Ο κύκλος

διέρχεται από το κέντρο του (O , 2)

και τον τέμνει στα σημεία A , B

. Εντοπίστε σημείο

του

, τέτοιο ώστε το μέσο

του

, να βρίσκεται πάνω στην

και υπολογίστε το τμήμα

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 27, 2026 9:47 pm
Από το κέντρο ως το μέσο.pngΟ κύκλος διέρχεται από το κέντρο του και τον τέμνει στα σημεία . Εντοπίστε σημείο

του , τέτοιο ώστε το μέσο του , να βρίσκεται πάνω στην και υπολογίστε το τμήμα .

.

: Από το κέντρο.png (42.28 KiB) Προβλήθηκε 55 φορές

.
Επειδή το

είναι το μέσον του

και το

διατρέχει κύκλο, σημαίνει ότι το

βρίσκεται σε ομοιόθετο κύκλο με κέντρο ομοιοθεσίας το

και λόγο $\dfrac {1}{2}$ . Είναι ο κόκκινος στο σχήμα, διαμέτρου

. Κατασκευάζεται εύκολα καθώς έχει διάμετρο

όπου

το μέσον του

, και

το μέσον του

. Είναι μάλιστα $KD = \dfrac {5}{2}, \, KL = \dfrac {1}{2}$ .

Εκεί που ο κόκκινος κύκλος τέμνει το

είναι το

(δύο συμμετρικές θέσεις) και το

είναι η τομή της

με τον αριστερό κύκλο.

Θα μας χρειαστεί το OE=a

.

Από δύναμη σημείου σε καθένα από τους δύο κύκλους είναι $CE\cdot EF=AE^2=OF\cdot EG$ , ισοδύναμα (άμεσο από τα μήκη των ακτίνων των κύκλων)

(2+a)(2-a)=a(6-a)

. Άρα $a= \dfrac {2}{3}$ και άρα

$DE= \dfrac {1}{2}-\dfrac {2}{3}= \dfrac {1}{6}$ και $EL= 2-\dfrac {1}{6}= \dfrac {11}{6}$ .

Εύκολα τώρα από το ορθογώνιο τρίγωνο DML

, είναι $ME = \dfrac {\sqrt {11}}{6}$ . Άρα

$OM^2= DE^2+ ME^2= \left (\dfrac {2}{3} \right ) ^2+ \left (\dfrac {\sqrt {11}}{6}\right ) ^2$ από όπου $\boxed { OM = \dfrac {\sqrt {3}}{2} }$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 27, 2026 9:47 pm
Από το κέντρο ως το μέσο.pngΟ κύκλος διέρχεται από το κέντρο του και τον τέμνει στα σημεία . Εντοπίστε σημείο

του , τέτοιο ώστε το μέσο του , να βρίσκεται πάνω στην και υπολογίστε το τμήμα .

Θα απαντήσω απευθείας στο δεύτερο ερώτημα, οπότε καλύπτεται και ο εντοπισμός του

Θεώρημα διαμέσων στο OSK,

$\boxed{13=2OM^2+2MK^2}$ (1)

: Από το κέντρο ως το μέσο.png (21.67 KiB) Προβλήθηκε 25 φορές

Δύναμη του σημείου

ως προς τους δύο κύκλους:

$\displaystyle AM \cdot MB = 9 - M{K^2} = 4 - O{M^2} \Rightarrow M{K^2} = 5 + O{M^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} 13 = 10 + 4O{M^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{OM=\frac{\sqrt 3}{2}}$

Από το κέντρο ως το μέσο

Από το κέντρο ως το μέσο

Re: Από το κέντρο ως το μέσο

Re: Από το κέντρο ως το μέσο

Μέλη σε σύνδεση