Αχαρτογράφητα νερά

KARKAR · #1

: Αχαρτογράφητα νερά.png (10.24 KiB) Προβλήθηκε 172 φορές

Το σταθερό τμήμα

του

και το κινητό τμήμα

, της ευθείας y=-1

έχουν μήκη

.

Οι

τέμνονται στο σημείο

. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του

. Λογισμικό ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 17, 2026 5:57 pm
Αχαρτογράφητα νερά.pngΤο σταθερό τμήμα του και το κινητό τμήμα , της ευθείας έχουν μήκη .

Οι τέμνονται στο σημείο . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του . Λογισμικό ;

: αχαρτογ.png (82.4 KiB) Προβλήθηκε 155 φορές

.
Έστω

οπότε

. Οι ευθείες QO, SP

είναι αντίστοιχα οι $y=-\dfrac {1}{a}(x-a)-1$ και $y=\dfrac {4x}{a+5}-5$ (άμεσα). Τέμνονται όταν, για τις κλίσεις, είναι $-\dfrac {1}{a} < \dfrac {4}{a+5}$ . Λύνουμε ως προς x,y

. Θα βρούμε

$x= \dfrac {a(a+5)}{a+1}, \, y= -\dfrac {a+5}{a+1}$

Άρα x=-ay

, ισοδύναμα $a=- \dfrac {x}{y}$ . Θέτοντας αυτό στην δεύτερη θα βρούμε y^2+(5-x)y-x=0

και άρα (κρατώντας τον πάνω κλάδο)

$\boxed {y=\dfrac {1}{2}\left (x-5+\sqrt {x^2-6x+25}\right )}$ (τμήμα της).

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 17, 2026 5:57 pm
Το σταθερό τμήμα του και το κινητό τμήμα , της ευθείας έχουν μήκη .

Οι τέμνονται στο σημείο . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του . Λογισμικό ;

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Απρ 17, 2026 9:26 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 17, 2026 5:57 pm
Αχαρτογράφητα νερά.pngΤο σταθερό τμήμα του και το κινητό τμήμα , της ευθείας έχουν μήκη .

Οι τέμνονται στο σημείο . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του . Λογισμικό ;
.
Έστω οπότε . Οι ευθείες είναι αντίστοιχα οι $y=-\dfrac {1}{a}(x-a)-1$ και $y=\dfrac {4x}{a+5}-5$ (άμεσα). Τέμνονται όταν, για τις κλίσεις, είναι $-\dfrac {1}{a} < \dfrac {4}{a+5}$ . Λύνουμε ως προς . Θα βρούμε

$x= \dfrac {a(a+5)}{a+1}, \, y= -\dfrac {a+5}{a+1}$

Άρα , ισοδύναμα $a=- \dfrac {x}{y}$ . Θέτοντας αυτό στην δεύτερη θα βρούμε και άρα (κρατώντας τον πάνω κλάδο)

$\boxed {y=\dfrac {1}{2}\left (x-5+\sqrt {x^2-6x+25}\right )}$ (τμήμα της).

Θανάση και Μιχάλη καλησπέρα σας....

Σχετικά με τον ανωτέρω γ. τόπο θεωρώ ότι είναι καλύτερα να εργαστούμε με τις

παραμετρικές εξισώσεις του ώστε και να δούμε καλύτερα την εξέλιξή του.

Σύμφωνα και με αυτά που έγραψε ο Μιχάλης οι παραμετρικές εξισώσεις του τόπου αυτού είναι:

$\displaystyle{x(t)=\frac{t(5+t)}{1+t}, \ \ y(t)=-\frac{5+t}{1+t}, \ \ t \in (-\infty,-1) \cup (-1, \infty )(1) }$

Στο ακόλουθο σχήμα εμφανίζεται με λογισμικό (γιατί όχι!!) και το γράφημα του τόπου αυτού για

το διάστημα $\displaystyle{ D=[-15,-1)\cup (-1,15] }$

: Αχαρτογράφητα νερά 1.png (24.17 KiB) Προβλήθηκε 118 φορές

Παραθέτω και το δυναμικό σχήμα στο σύνδεσμο:

https://www.geogebra.org/m/tcc6y7ku

Κώστας Δόρτσιος

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 17, 2026 5:57 pm
Το σταθερό τμήμα του και το κινητό τμήμα , της ευθείας έχουν μήκη .

Οι τέμνονται στο σημείο . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του . Λογισμικό ;

Καλησπέρα...

Συνεχίζω το θέμα αυτό προσθέτοντας κάποιες ακομα λειτουργίες του δυναμικού σχήματος

για καλύτερη κατανόηση του επισκέπτη - αναγνώστη και κάποιες διευκρινήσεις.

Πρώτο σχήμα:

: Αχαρτογράφητα νερά 2.png (36.94 KiB) Προβλήθηκε 73 φορές

Στο σχήμα αυτό βλέπουμε το γ. τόπο μέχρι και την τιμή $\displaystyle{t=-1}$ καθώς επίσης και

τη δεύτερη ασύμπτωτο.

Στο δυναμικό σχήμα μπορείτε να δείτε το γράφημα και για άλλες τιμές, όπως $\displaystyle{t=-5, t=1 }$ και άλλες...

Δεύτερο σχήμα:

: Αχαρτογράφητα νερά 3.png (34.42 KiB) Προβλήθηκε 73 φορές

Στο δεύτερο σχήμα χρησιμοποιώ τα ευρήματα του Μιχάλη από τα οποία φαίνεται και πάλι το γράφημα

το οποίο είναι μια υπερβολή. Η μια εξίσωση δίνει όλη την υπερβολή ενώ η άλλη έναν κλάδο της...

Δυναμικό σχήμα https://www.geogebra.org/m/sd3jureu

Κώστας Δόρτσιος

Αχαρτογράφητα νερά

Αχαρτογράφητα νερά

Re: Αχαρτογράφητα νερά

Re: Αχαρτογράφητα νερά

Re: Αχαρτογράφητα νερά

Μέλη σε σύνδεση