Άθροισμα συνημιτόνων και αριθμητική πρόοδος

#1

Οι πλευρές τριγώνου ABC

είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και $\displaystyle \cos A + \cos B + \cos C = \frac{{23}}{{16}}.$

Να δείξετε ότι η μεγαλύτερη γωνία του τριγώνου είναι διπλάσια της μικρότερης.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 27, 2020 6:37 pm
Οι πλευρές τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και $\displaystyle \cos A + \cos B + \cos C = \frac{{23}}{{16}}.$

Να δείξετε ότι η μεγαλύτερη γωνία του τριγώνου είναι διπλάσια της μικρότερης.

Από ν.συνημιτόνου και με $AB=b- \omega , AC=b,BC=b+ \omega$ παίρνουμε

$cosA+cosB+cosC= \dfrac{AC^2+AB^2-BC^2}{2AB . AC} +\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2AB . BC}+\dfrac{AC^2+BC^2-AB^2}{2AC . BC} \Rightarrow ..... \dfrac{23}{8}= \dfrac{3b^2-6 \omega ^2}{b^2- \omega ^2} \Rightarrow \omega = \dfrac{b}{5}$

Άρα $BC= \dfrac{6b}{5} , AB= \dfrac{4b}{5} ,AC=b$ κι εύκολα διαπιστώνουμε ότι ισχύει $BC^2=AB^2+AB . AC \Rightarrow \angle A=2 \angle C$

: α.σ.κ.α.π.png (6.75 KiB) Προβλήθηκε 1298 φορές

#3

Για να υπάρχει .

Ας είναι $a = 2k\,\,,\,\,b = 2k + w\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,c = 2k - w$ .

$\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4\sin \dfrac{A}{2} \cdot \sin \dfrac{B}{2} \cdot \sin \dfrac{C}{2}\,\,\,\left( 1 \right)$ και

$\sin \dfrac{A}{2} = \sqrt {\dfrac{{\left( {s - b} \right)\left( {s - c} \right)}}{{bc}}} \,\,\,\,\,\,\left( {Mollweide} \right)$ , όπου s = 3k

ημιπερίμετρος

Η $\left( 1 \right)$ δίδει : $64\dfrac{{\left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)\left( {s - c} \right)}}{{abc}} = 7 \Leftrightarrow 32\left( {{k^2} - {w^2}} \right) = 7\left( {4{k^2} - {w^2}} \right)$ και άρα :

: Άθροισμα συνημιτόνων και αριθμητική πρόοδος.png (24.69 KiB) Προβλήθηκε 1259 φορές

$\boxed{2k = 5w}$ δηλαδή το τρίγωνο είναι όμοιο με το τρίγωνο

$ABC\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,a = 4,\,\,b = 6\,\,,\,\,c = 4$ και αν γράψω το κύκλο $\left( {A,6} \right)$ και κόψει στο

την

θα είναι : $5x = 36 - 16 = 20 \Rightarrow x = 4 = AB \Rightarrow \widehat {{B_{}}} = 2\widehat {{D_{}}} = 2\widehat {{C_{}}}$

Άθροισμα συνημιτόνων και αριθμητική πρόοδος

Άθροισμα συνημιτόνων και αριθμητική πρόοδος

Re: Άθροισμα συνημιτόνων και αριθμητική πρόοδος

Re: Άθροισμα συνημιτόνων και αριθμητική πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση