Γωνίες τριγώνου

#1

Σε τρίγωνο $\displaystyle{\displaystyle ABC}$ είναι $\displaystyle \widehat B = 45^\circ$ και υπάρχει σημείο

της πλευράς

ώστε

και $\displaystyle \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}.$ Να βρείτε τις άλλες δύο γωνίες του τριγώνου.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 31, 2020 2:20 pm
Σε τρίγωνο $\displaystyle{\displaystyle ABC}$ είναι $\displaystyle \widehat B = 45^\circ$ και υπάρχει σημείο της πλευράς ώστε

και $\displaystyle \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}.$ Να βρείτε τις άλλες δύο γωνίες του τριγώνου.

Κατασκευή

Έστω ευθύγραμμο τμήμα BD = 1

και τη γωνία : $\widehat {DBx} = 45^\circ$ . Προεκτείνω το

προς το

κατά τμήμα $\boxed{DC = \sqrt 3 + 1 = R}$ .

Θα είναι $\dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 + 1}} = \dfrac{{\sqrt 3 - 1}}{2}$ . Γράφω τώρα το κύκλο $\left( {C,CD} \right)$ που τέμνει την

στα σημεία $A\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ (με το

ανάμεσα στο $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ ) , κι αυτό γιατί η απόσταση του

από την

είναι :

δηλαδή $\dfrac{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sqrt 2 }}{2} < \sqrt 3 + 1 \Leftrightarrow 7 < 8$ .

Υπολογισμός:

: Γωνίες τριγώνου_2.png (31.67 KiB) Προβλήθηκε 1269 φορές

Από το Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle ABC$ έχω: $A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos 45^\circ$ .

Δηλαδή: ${\left( {\sqrt 3 + 1} \right)^2} = A{B^2} + {\left( {\sqrt 3 + 2} \right)^2} - \sqrt 2 \left( {2 + \sqrt 3 } \right)AB \Leftrightarrow A{B^2} - \sqrt 2 \left( {2 + \sqrt 3 } \right) + 2\sqrt 3 + 3 = 0$

Έχει διακρίνουσα $\Delta = 2$ και την πιο μικρή ρίζα $\boxed{AB = \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{2}}$

Ενώ η πιο μεγάλη ρίζα αντιστοιχεί προφανώς στο $\boxed{AE = \frac{{3\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{2}}$ .

Γράφω τώρα το περιγεγραμμένο κύκλο $\left( {K,r} \right)$ του $\vartriangle ABC$ με ακτίνα $\boxed{r = \frac{R}{{\sqrt 2 }} = AB}$

και από τη δύναμη του σημείου

ως προς αυτόν έχω: $\boxed{DK = 1}$ .

Επομένως το τρίγωνο ABK

είναι ισόπλευρο με διχοτόμο την

οπότε αβίαστα προκύπτουν :

$\widehat {BAC} = 105^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {ACB} = 30^\circ$ . Ενώ αν επιλέξω το άλλο τρίγωνο EBC

θα είναι $\widehat {BEC} = 75^\circ \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {ECB} = 60^\circ$ .

#3

Αλλιώς, με νόμο ημιτόνων.

: Γωνίες τριγώνου.Ι.png (7.24 KiB) Προβλήθηκε 1223 φορές

$\displaystyle \frac{{\sin A}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{BC}}{{DC}} = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{2} \Leftrightarrow \sin A = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4},$ άρα $\displaystyle \widehat A = 75^\circ$ ή $\displaystyle \widehat A = 105^\circ ,$ κλπ.

(Στο σχήμα είναι $\displaystyle \widehat A = 75^\circ, \widehat C=60^\circ$ ).

STOPJOHN · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 31, 2020 2:20 pm
Σε τρίγωνο $\displaystyle{\displaystyle ABC}$ είναι $\displaystyle \widehat B = 45^\circ$ και υπάρχει σημείο της πλευράς ώστε

και $\displaystyle \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}.$ Να βρείτε τις άλλες δύο γωνίες του τριγώνου.

Το τρίγωνο ABZ

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές άρα $BZ=\upsilon _{a}=\dfrac{c\sqrt{2}}{2},(1),$
$BD=a-b,(2), \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\Rightarrow BD=a.\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1},(3), (2),(3)\Rightarrow \dfrac{b}{a}=\sqrt{3}-1,(4)$
Στο τρίγωνο $ABC,b^{2}=c^{2}+a^{2}-\sqrt{2}ac$ και λόγω της $(4),\dfrac{a}{c}=\dfrac{\sqrt{2}(3+\sqrt{3})}{6},(5), (4),(5)\Rightarrow \dfrac{b}{c}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}, ZC=a-\dfrac{c\sqrt{2}}{2}=\dfrac{c\sqrt{6}}{6}=\dfrac{b}{2}=\dfrac{c\sqrt{6}}{6}\Leftrightarrow \hat{ZAC}=30^{0},\hat{C}=60^{0},\hat{A}=75^{0}$

Γωνίες τριγώνου

Γωνίες τριγώνου

Re: Γωνίες τριγώνου

Re: Γωνίες τριγώνου

Re: Γωνίες τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση