Ώρα εφαπτομένης 116

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 116.png (15 KiB) Προβλήθηκε 870 φορές

Στην προέκταση της διαμέτρου

ενός ημικυκλίου θεωρούμε σημείο

και φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

.

Σχεδιάζουμε και το τετράγωνο BTPQ

. Αν τα σημεία P ,Q, S

είναι συνευθειακά , υπολογίστε την : $\tan \theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 09, 2021 1:38 pm
Ώρα εφαπτομένης 116.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου θεωρούμε σημείο και φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα .

Σχεδιάζουμε και το τετράγωνο . Αν τα σημεία είναι συνευθειακά , υπολογίστε την : $\tan \theta$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

: Ώρα εφαπτομένης 116.png (19.99 KiB) Προβλήθηκε 832 φορές

Λόγω της παραλληλίας TB||PS

και τη σχέση εγγεγραμμένης και γωνίας χορδής εφαπτομένης, είναι $\widehat A=\theta,$

άρα τα ορθογώνια τρίγωνα ATB, SPT

είναι ίσα, οπότε TS=2R.

Είναι λοιπόν $\displaystyle \tan 2\theta = 2.$ Επομένως:

$\displaystyle \frac{{2\tan \theta }}{{1 - {{\tan }^2}\theta }} = 2 \Leftrightarrow {\tan ^2}\theta + \tan \theta - 1 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{\theta < 90^\circ }$ $\boxed{\tan \theta=\frac{\sqrt 5-1}{2}}$

KARKAR · #4

Κύριοι βρίσκεστε σε άλλη Ήπειρο . Η σωστή απάντηση είναι : $\tan\theta=\dfrac{1}{\phi}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 09, 2021 6:54 pm
Κύριοι βρίσκεστε σε άλλη Ήπειρο . Η σωστή απάντηση είναι : $\tan\theta=\dfrac{1}{\phi}$

Νομίζω Θανάση ότι και εσύ έχεις λάθος απάντηση. Η σωστή τελικά απάντηση είναι $\tan \theta =\varphi -1$

KARKAR · #6

Την "διαφωνία" καλείται να λύσει ο καθ' ύλην αρμόδιος κ. Γιώργος Μήτσιος

Γιώργος Μήτσιος · #7

Καλό βράδυ σε όλους! Αφού ο θεματοθέτης (KARKAR) μου έδωσε το λόγο..

..ας υπολογίσουμε τον ζητούμενο λόγο (εφαπτομένη). Όπως έγραψε ο Γιώργος έχουμε $tan2 \theta =2$ .Με χρήση του σχήματος

: 9-12 tan 116.png (119.5 KiB) Προβλήθηκε 784 φορές

Θέτοντας

παίρνουμε $TK=2...R=\sqrt{5}$ και $tan\theta =\dfrac{2}{\sqrt{5}+1}$ , άρα...

ως προς την ''διαφωνία'' των άριστων Μαθηματικών Θανάση και Στάθη , θα έλεγα κύριοι πως

το μόνο λάθος αμφοτέρων είναι ...

... ορθογραφικό : Το σωστό (σύμφωνα με παλαιότερη προτροπή μου) είναι $tan\theta =\dfrac{1}{\Phi }=\Phi -1$

αφού τα μικρά $\phi ,\varphi$ δεν έχουν ..

.. σιγουριά ως προς την εμφάνισή τους... $\Phi$ ιλικά, Γιώργος

#8

Ας είναι

το αντιδιαμετρικό του

. Επειδή τα ορθογώνια τρίγωνα $ADT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PTS$ έχουν :

$TP = TB = AD\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\widehat {{a_1}} = \,\widehat {{a_2}}$ ( χορδής κι εφαπτομένης) , θα είναι ίσα , οπότε

$TD = TS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\theta _{}}}$ . Δηλαδή το μήκος της διαμέτρου ( έστω

) ισούται με το μήκος του εφαπτόμενου τμήματος

. Άμεση συνέπεια :
.

: Ώρα εφαπτομένης 116_2.png (29.03 KiB) Προβλήθηκε 764 φορές

.
Το

χωρίζει το

σε μέσο κι άκρο λόγο . Θέτω BS = x

και

Από αλγεβρικής πλευράς : $S{T^2} = SB \cdot SA \Rightarrow 1 = x\left( {x + 1} \right) \Rightarrow \boxed{x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} = \frac{1}{\varphi }}$

Από την άλλη μεριά : $\boxed{\tan \theta = \tan \omega = \frac{{AD}}{{AT}} = \frac{{PT}}{{TA}} = \frac{{SB}}{{BA}} = x = \frac{1}{\varphi }}$

Ώρα εφαπτομένης 116

Ώρα εφαπτομένης 116

Re: Ώρα εφαπτομένης 116

Re: Ώρα εφαπτομένης 116

Re: Ώρα εφαπτομένης 116

Re: Ώρα εφαπτομένης 116

Re: Ώρα εφαπτομένης 116

Re: Ώρα εφαπτομένης 116

Re: Ώρα εφαπτομένης 116

Μέλη σε σύνδεση