Διπλάσιο τμήμα , ίση γωνία

KARKAR · #1

: Διπλάσιο τμήμα , ίση γωνία.png (10.7 KiB) Προβλήθηκε 748 φορές

Τα σημεία : O , A , B , C

, είναι συνευθειακά και τέτοια ώστε : BC = 2OA

.

Πάνω στη κάθετη του

στο

, βρείτε σημείο

, ώστε : $\widehat{BSC}=\widehat{OSA}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 28, 2022 12:59 pm
Διπλάσιο τμήμα , ίση γωνία.pngΤα σημεία : , είναι συνευθειακά και τέτοια ώστε : .

Πάνω στη κάθετη του στο , βρείτε σημείο , ώστε : $\widehat{BSC}=\widehat{OSA}$ .

: Διπλάσιο τμήμα ίση γωνία.png (14.24 KiB) Προβλήθηκε 736 φορές

Γράφω τυχαίο κύκλο που να διέρχεται από τα B, C

και φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα OT.

Στη συνέχεια

επιλέγω το σημείο

πάνω στην κάθετη ώστε OS=OT.

Αφήνω την απόδειξη ως άσκηση.

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 28, 2022 12:59 pm
Διπλάσιο τμήμα , ίση γωνία.pngΤα σημεία : , είναι συνευθειακά και τέτοια ώστε : .

Πάνω στη κάθετη του στο , βρείτε σημείο , ώστε : $\widehat{BSC}=\widehat{OSA}$ .

Απο τιη γνωστή συνθήκη ισογωνιότητας

$\dfrac{OA}{AC}.\dfrac{OB}{BC}=\dfrac{OS^{2}}{SC^{2}}\Leftrightarrow x^{2}=(a+b)(3a+b)$ ,

όπου OS=x,AB=d

Η κατασκευή το τμήματος

γίνεται απο τον κύκλο διαμέτρου 4a+2b

=

και στο σημείο

μεταξυ των $A,B.AK=a+b,KL\perp AB$ ,το σημείο

είναι στο κύκλο και το ζητούμενο μήκος είναι το

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 28, 2022 12:59 pm
Διπλάσιο τμήμα , ίση γωνία.pngΤα σημεία : , είναι συνευθειακά και τέτοια ώστε : .

Πάνω στη κάθετη του στο , βρείτε σημείο , ώστε : $\widehat{BSC}=\widehat{OSA}$ .

Στην θέση των $OA=a,\, BC=2a$ μπορούμε να έχουμε οποιαδήποτε μεγέθη αρκεί BC>OA

(και αντίστροφα).

Θέτουμε $OA=a, \, OB = b, \, OC =c$ . Οι γωνίες στην κορυφή είναι όπως στο σχήμα. Έχουμε τότε

$\tan \omega = \dfrac {a}{h},\, \tan y = \dfrac {b}{h},\, \tan (y+ \omega) = \dfrac {c}{h}$ .

Άρα

$\displaystyle{\dfrac {c}{h} = \tan (y+ \omega) = \dfrac {\tan y + \tan \omega }{ 1- \tan y \tan \omega}= \dfrac { \dfrac {b}{h}+ \dfrac {a}{h} }{1- \dfrac {b}{h} \dfrac {a}{h}} = \dfrac {(a+b)h}{h^2-ab} }$ .

Λύνοντας ως προς

έχουμε $\displaystyle{\boxed {h^2= \dfrac {abc}{c-a-b}}$ . Ικανή και αναγκαία συνθήκη για το τελευταίο είναι c-b >a

, ισοδύναμα BC>OA

.

Ας προσθέσω ότι στην περίπτωση που $OA=a,\, BC = 2a$ , όπως στην αρχική εκφώνηση, η παραπάνω σχέση γίνεται h^2=bc

.

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 28, 2022 12:59 pm
Διπλάσιο τμήμα , ίση γωνία.pngΤα σημεία : , είναι συνευθειακά και τέτοια ώστε : .

Πάνω στη κάθετη του στο , βρείτε σημείο , ώστε : $\widehat{BSC}=\widehat{OSA}$ .

Έστω λυμένο το πρόβλημα . Ας είναι

η προβολή του

στην

και

το μέσο του

.

Το τετράπλευρο OBTS

είναι εγγράψιμο οπότε:

1. $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}$ και αφού OA = MT = a

θα είναι $\vartriangle OAS = \vartriangle TMO \Rightarrow OS = OT \Rightarrow \widehat {{a_1}} + \widehat {{a_2}} + \widehat {{\xi _{}}} = \widehat {{\omega _{}}}$

: Διπλάσιο τμήμα ίση γωνία_Ανάλυση.png (30.43 KiB) Προβλήθηκε 657 φορές

2. Η εξωτερική γωνία στο

του πιο πάνω εγγραψίμου, OBTS

είναι : $\widehat {{\phi _{}}} = \widehat {{a_1}} + \widehat {{a_2}} + \widehat {{\xi _{}}}$ .

3. Θα είναι έτσι : $\widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\phi _{}}} \Rightarrow \widehat {{\omega _{}}} + \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\phi _{}}} + \widehat {{\theta _{}}} = 90^\circ$

Μετά απ’ αυτά έχω την κατασκευή:

Γράφω προς το ίδιο μέρος τα ημικύκλια διαμέτρων $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OM$ και τέμνονται στο

.

Η

τέμνει στο

την εις το

κάθετη στην

.

: Διπλάσιο τμήμα ίση γωνία_Κατασκευή.png (20.38 KiB) Προβλήθηκε 657 φορές

Προφανώς λίγο διαφέρει απο την κατασκευή του φίλτατου Γιώργου .

nickchalkida · #6

Η συνθήκη ισογωνιότητας $\displaystyle \dfrac{a+b}{h} = \dfrac{h}{3a+b}$ (του Γιάννη παραπάνω)

συνεπάγεται ότι $\triangle OSB \sim \triangle OSC$ , άρα $A\widehat{S}C = S\widehat{C}A$ δηλαδή $\triangle ASC$ ισοσκελές.

Κατασκευή: Η τομή του κύκλου (A,AC)

με την κάθετη στο

προσδιορίζει το σημείο

.

Διπλάσιο τμήμα , ίση γωνία

Διπλάσιο τμήμα , ίση γωνία

Re: Διπλάσιο τμήμα , ίση γωνία

Re: Διπλάσιο τμήμα , ίση γωνία

Re: Διπλάσιο τμήμα , ίση γωνία

Re: Διπλάσιο τμήμα , ίση γωνία

Re: Διπλάσιο τμήμα , ίση γωνία

Μέλη σε σύνδεση