Λόγο δίνεις, λόγο παίρνεις

#1

: Λόγο δίνεις, λόγο παίρνεις.png (12.36 KiB) Προβλήθηκε 302 φορές

Στο ισοσκελές τρίγωνο ABC (AB=AC),

το

είναι μέσο της AC,

ενώ

είναι το ορθόκεντρο

και το περίκεντρο αντίστοιχα. Αν $\displaystyle \frac{{(ABH)}}{{(COM)}} = \frac{7}{8},$ να βρείτε το λόγο $\dfrac{AB}{BC}.$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 06, 2024 2:39 pm
Λόγο δίνεις, λόγο παίρνεις.png
Στο ισοσκελές τρίγωνο το είναι μέσο της ενώ είναι το ορθόκεντρο

και το περίκεντρο αντίστοιχα. Αν $\displaystyle \frac{{(ABH)}}{{(COM)}} = \frac{7}{8},$ να βρείτε το λόγο $\dfrac{AB}{BC}.$

Είναι γνωστό ότι αν ON=x

τότε

.Επειδή

οι μπλε γωνίες είναι

ίσες,άρα $\angle HBN= \angle \dfrac{A}{2}$ συνεπώς BN^2=NH.NA (1)

$\dfrac{(AHB)}{(OMC)}= \dfrac{7}{8 } \Rightarrow \dfrac{(AHC)}{2(OMC)}= \dfrac{7}{16} \Rightarrow \dfrac{(AHC)}{(AOC)}= \dfrac{7}{16} \Rightarrow \dfrac{2x}{AO}= \dfrac{7}{16} \Rightarrow AO=OC= \dfrac{32x}{7}$

Επομένως $HN=\dfrac{25x}{7}$ και η $(1) \Rightarrow \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{25x}{7}. \dfrac{39x}{7} \Rightarrow \dfrac{39a^2}{4}=25. \dfrac{39^2x^2}{49}$

Αλλά από Π.Θ στο $\triangle ANC \Rightarrow \dfrac{39^2x^2}{49} = b^2-\dfrac{a^2}{4}$ οπότε

$\dfrac{39a^2}{4}= 25(b^2- \dfrac{a^2}{4} ) \Rightarrow \dfrac{b}{a}= \dfrac{4}{5}$

: Λόγο δίνεις ,λόγο παίρνεις.png (30.56 KiB) Προβλήθηκε 237 φορές

#3

Σ' ευχαριστώ Μιχάλη για τη λύση. Ας το δούμε κι αλλιώς.

Επειδή $\displaystyle B\widehat AH = M\widehat CO = \frac{{\widehat A}}{2},$ θα είναι $\displaystyle \frac{{(ABH)}}{{(COM)}} = \frac{{AB \cdot AH}}{{CM \cdot CO}} = \frac{{b \cdot 2R\cos A}}{{\dfrac{b}{2} \cdot R}} = 4\cos A.$

: Λόγο δίνεις, λόγο παίρνεις.β.png (14.1 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές

Άρα, $\displaystyle 4\cos A = \frac{7}{8} \Leftrightarrow {\sin ^2}\frac{A}{2} = \frac{{25}}{{64}} \Leftrightarrow \frac{a}{{2b}} = \frac{5}{8} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{b}{a}=\frac{4}{5}}$

Λόγο δίνεις, λόγο παίρνεις

Λόγο δίνεις, λόγο παίρνεις

Re: Λόγο δίνεις, λόγο παίρνεις

Re: Λόγο δίνεις, λόγο παίρνεις

Μέλη σε σύνδεση