Ίσο και διπλάσιο

[KARKAR]

Ίσο και διπλάσιο.png (12.73 KiB) Προβλήθηκε 738 φορές

Σε ευθεία , εξωτερική κύκλου βρίσκεται σημείο . Εντοπίστε σημείο της ευθείας :

α) Το οποίο να ισαπέχει από το σημείο και τον κύκλο .

β) Του οποίου η απόσταση από το σημείο να είναι διπλάσια από την απόσταση από τον κύκλο .

Αριθμητικοποιήστε τα αποτελέσματα αν ο κύκλος είναι ο : , η ευθεία η : και : .

[rek2]

Για το πρώτο ερώτημα ένας τρόπος είναι ο εξής:

Δεξιά του S παίρνω σημείο R τέτοιο, ώστε το SR να είναι ίσο με την ακτίνα του κύκλου. Πρέπει και αρκεί, επομένως, PO=PR, άρα το P βρίσκεται στη μεσοκαθετο του OR και προσδιορίζεται άμεσα.

Για το δεύτερο ερώτημα παίρνω, τώρα, το SR ίσο με δύο φορές την ακτίνα του κύκλου. Πρέπει και αρκεί 2PO=PR, άρα το P, τώρα, βρίσκεται σε γνωστό Απολλώνιο κύκλο και προσδιορίζεται, ως τομή του με την ε.

[KARKAR]

Ίσο και διπλάσιο.png (14.31 KiB) Προβλήθηκε 602 φορές

Παραθέτω το σχήμα της λύσης του δεύτερου ( και δυσκολότερου ) ερωτήματος . ( Το δεν κάνει για όνομα σημείου )

Παρότι οι αριθμητικές λύσεις δεν έχουν την ίδια ομορφιά , ωστόσο : " Στην αναβροχιά καλό είναι και το χαλάζι " !

[KARKAR]

Ορίστε και οι αριθμητικές λύσεις . Παρατηρήστε ( και εξηγήστε γιατί ) , ότι το δεύτερο ερώτημα έχει δύο λύσεις .

μία λύση.png (15.97 KiB) Προβλήθηκε 570 φορές

άλλη λύση.png (16.25 KiB) Προβλήθηκε 570 φορές

[S.E.Louridas]

Σε ευθεία , εξωτερική κύκλου βρίσκεται σημείο . Εντοπίστε σημείο της ευθείας : α) Το οποίο να ισαπέχει από το σημείο και τον κύκλο .β) Του οποίου η απόσταση από το σημείο να είναι διπλάσια από την απόσταση από τον κύκλο . Αριθμητικοποιήστε τα αποτελέσματα αν ο κύκλος είναι ο : , η ευθεία η : και : .

Ας δούμε και αυτό για την δεύτερη περίπτωση, αν δεν μου έχει ξεφύγει κάτι:


Η τέμνει την παράλληλο προς την από το σε σταθερό σημείο αφού

Άρα το θα μπορούσε να είναι η τομή των με τον δοθέντα κύκλο.

sa.png (9.64 KiB) Προβλήθηκε 535 φορές

Παρατήρηση:

Με τον ίδιο τρόπο θα εργαζόμασταν αν θέλαμε αν το είναι μέτρο δοθέντος ευθύγραμμου τμήματος.
Τότε το σταθερό θα ήταν το

[KARKAR]

Σωτήρη , πανέξυπνη λύση , νάσαι καλά ! Φυσικά έτσι έχουμε μια απλούστερη λύση και στο πρώτο ερώτημα .

Σωτήρια επέμβαση.png (13.97 KiB) Προβλήθηκε 513 φορές

Μένει μια μικρή εκκρεμότητα : Πώς στο δεύτερο ερώτημα θα βρούμε και την δεύτερη λύση ;

[S.E.Louridas]

Σωτήρη , πανέξυπνη λύση , νάσαι καλά ! Φυσικά έτσι έχουμε μια απλούστερη λύση και στο πρώτο ερώτημα .Σωτήρια επέμβαση.png

Μένει μια μικρή εκκρεμότητα : Πώς στο δεύτερο ερώτημα θα βρούμε και την δεύτερη λύση ;

Στο δεύτερο ερώτημα , εν γένει, η τέμνει σε δύο σημεία τον δοθέντα κύκλο. Το θέμα αυτό είναι από τα καλά θέματα που μέσω αυτών
διδάσκεται η σημαντικότατη διαδικασία της διερεύνησης.