Αναπάντεχο μέγιστο

KARKAR · #1

: Αναπάντεχο μέγιστο.png (13.14 KiB) Προβλήθηκε 420 φορές

Το σημείο

κινείται στην παραβολή : y^2=4x

, μεταξύ

και

. Υπολογίστε το : $(SO+SA)_{max}$ .

#2

Καλημέρα σε όλους. Χρόνια πολλά στους εορτάζοντες. Mου προέκυψαν κάποια αναπάντεχα συμπεράσματα, για τα οποία δεν έχω απόδειξη. Δίνω και το δυναμικό σχήμα στο Geogebra, για όποιον θα ήθελε να πειραματιστεί.

: 06-1-2025 Γεωμετρία.png (42.03 KiB) Προβλήθηκε 376 φορές

Έστω $\displaystyle S\left( {\frac{{{a^2}}}{4},a} \right),0 \le a \le 6$ και 4y = x^2, Β(6,9)

, $\displaystyle T\left( {a,\frac{{{a^2}}}{4}} \right)$ συμμετρικά του σχήματος ως προς y=x

.

Τότε

.

H συνάρτηση $\displaystyle f\left( a \right) = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^4}}}{{16}}} + \sqrt {{{\left( {6 - a} \right)}^2} + {{\left( {9 - \frac{{{a^4}}}{4}} \right)}^2}} ,\;\;a \in \left[ {0,6} \right]$ που δίνει το μήκος OT+TB

έχει μέγιστο για a = 2

με τιμή $5\cdot \sqrt{5}$ , οπότε S(1,2)

. (Με τη χρήση λογισμικού).

Παρατηρώ ότι:

(1) Η ευθεία

έχει εξίσωση e: x+y=15

Η παράλληλη μετατόπιση του

κατά διάνυσμα $\displaystyle \overrightarrow {ST} = \left( {a - \frac{{{a^2}}}{4},\frac{{{a^2}}}{4} - a} \right)$ είναι το

, με

σημείο της

, αφού το

είναι παραλληλόγραμμο.

Άρα $SO + SA = OT+TK \ge OK$ .

Είναι $\displaystyle \sqrt 2 \le \left| {\overrightarrow {ST} } \right| \le 3\sqrt 2$ , οπότε το

διατρέχει το τμήμα

, με

.

Το

παίρνει δύο τοπικά μέγιστα $\displaystyle \left( {OB} \right) = \sqrt {117}$ και $\displaystyle \left( {OM} \right) = 5\sqrt 5$

Παρατηρώ ότι το μέγιστο του OS+SA

με τιμή $5\cdot \sqrt{5}$ το έχουμε όταν K(10,5)

.

(2) Επίσης, παρατηρώ ότι, αν φέρουμε την εφαπτομένη της $\displaystyle y = \frac{{{x^2}}}{4}$ στο σημείο

και πάρουμε το συμμετρικό

του

ως προς αυτήν, τότε, παρατηρούμε ξανά, ότι το μέγιστο OT+TB = OT+TK

λαμβάνεται όταν T(2,1)

και

, οπότε

συνευθειακά.

Αναπάντεχο μέγιστο

Αναπάντεχο μέγιστο

Re: Αναπάντεχο μέγιστο

Μέλη σε σύνδεση