Υγιής σχέση

KARKAR · #1

: Υγιής σχέση.png (12.34 KiB) Προβλήθηκε 1072 φορές

Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου , ο οποίος διέρχεται από τα σημεία O(0,0)

και

και τέμνει

τις ευθείες y=0

και $y=\dfrac{4}{3}x$ , στα σημεία P , T

αντίστοιχα , έτσι ώστε να είναι : OT=2OP

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 11, 2025 7:26 am
Υγιής σχέση.pngΝα βρεθεί η εξίσωση του κύκλου , ο οποίος διέρχεται από τα σημεία και και τέμνει

τις ευθείες και $y=\dfrac{4}{3}x$ , στα σημεία αντίστοιχα , έτσι ώστε να είναι : .

Αν

τότε

και άρα $OP= \dfrac {5}{2}a$ . Το κέντρο

του ζητούμενου κύκλου είναι στην μεσοκάθετο του

άρα $K \left ( \dfrac {5}{4}a, b\right)$

Οι συνθήκες KO=KT=KS

γράφονται

$\left ( \dfrac {5}{4}a\right)^2+b^2= \left ( \dfrac {5}{4}a-3a\right)^2+(b-4a)^2 = \left ( \dfrac {5}{4}a-4\right)^2+(b-2)^2$

Λύνοντας θα βρούμε $a= \dfrac {16}{15}, \, b= \dfrac {7}{3}$ (το έκανα με λογισμικό γιατί είναι ρουτίνα αλλα επίπονο). Με αντικατάσταση πίσω στις εξισώσεις, ο κύκλος είναι τελικά ο

$\left ( x-\dfrac {4}{3}\right)^2+ \left ( y-\dfrac {7}{3}\right)^2= \dfrac {4^2}{3^2}+\dfrac {7^2}{3^2}= \dfrac {65}{9}$

Mάλλον άσκηση που διώχνει τους μαθητές από τα Μαθηματικά παρά τους έλκει λόγω των πράξεων αλλά χωρίς φαντασία στην επίλυση.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 11, 2025 7:26 am
Υγιής σχέση.pngΝα βρεθεί η εξίσωση του κύκλου , ο οποίος διέρχεται από τα σημεία και και τέμνει

τις ευθείες και $y=\dfrac{4}{3}x$ , στα σημεία αντίστοιχα , έτσι ώστε να είναι : .

Αλλιώς.

: Υγιής σχέση.Κ.png (17.16 KiB) Προβλήθηκε 1052 φορές

Βρίσκω $OP=a=\dfrac{8}{3}$ και η εξίσωση του κύκλου 3x^2+3y^2-8x-14y=0.

Αφού απαντήθηκε, θα γράψω τη λύση το απογευματάκι που βασίζεται στον τύπο της εξίσωσης του κύκλου

$\displaystyle \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + {y^2}}&x&y&1 \\ {{x_1}^2 + {y_1}^2}&{{x_1}}&{{y_1}}&1 \\ {{x_2}^2 + {y_2}^2}&{{x_2}}&{{y_2}}&1 \\ {{x_3}^2 + {y_3}^2}&{{x_3}}&{{y_3}}&1 \end{array}} \right| = 0,$ που διέρχεται από τα σημεία (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3).

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 11, 2025 7:26 am
Υγιής σχέση.pngΝα βρεθεί η εξίσωση του κύκλου , ο οποίος διέρχεται από τα σημεία και και τέμνει

τις ευθείες και $y=\dfrac{4}{3}x$ , στα σημεία αντίστοιχα , έτσι ώστε να είναι : .

Όλοι οι κύκλοι που διέρχονται από τα σημεία $O\left( {0,0} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S\left( {4,2} \right)$ έχουν παραμετρική εξίσωση :

$x\left( {x - 4} \right) + y\left( {y - 2} \right) + k\left( {x - 2y} \right) = 0$ με

πραγματική παράμετρος .

Το σύστημα :

$x\left( {x - 4} \right) + y\left( {y - 2} \right) + k\left( {x - 2y} \right) = 0$ και y = 0

δίδει το

ενώ το σύστημα

$x\left( {x - 4} \right) + y\left( {y - 2} \right) + k\left( {x - 2y} \right) = 0$ και $y = \dfrac{4}{3}x$ δίδει το $T\left( {\dfrac{{3k + 12}}{5},\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{{3k + 12}}{5}} \right)$ απλές πράξεις δεν χρειάζονται λογισμικό .

Επειδή πρέπει : $2\left| {4 - k} \right| = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{3k + 12}}{5}} \right)}^2} + \dfrac{{16}}{9}{{\left( {\dfrac{{3k + 12}}{5}} \right)}^2}}$ προκύπτει : $k = \dfrac{4}{3}$ ή k = 12

.

Η τιμή, $k = \dfrac{4}{3}$ , δίδει : $3{x^2} + 3{y^2} - 8x - 14y = 0$ . Η τιμή k = 12

δίδει ${x^2} + {y^2} + 8x - 26y = 0$ . θα ψάξω αν επαληθεύει .

KARKAR · #5

: Υγιής σχέση ΣΥΜΠΛ.png (12.34 KiB) Προβλήθηκε 1030 φορές

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 11, 2025 7:26 am
Υγιής σχέση.pngΝα βρεθεί η εξίσωση του κύκλου , ο οποίος διέρχεται από τα σημεία και και τέμνει

τις ευθείες και $y=\dfrac{4}{3}x$ , στα σημεία αντίστοιχα , έτσι ώστε να είναι : .

Εύκολα διαπιστώνω ότι η

διχοτομεί τη γωνία $P\widehat OT.$ Θέτω OP=a, OT=2a, SP=ST=b.

Με νόμο

συνημιτόνων στα τρίγωνα OPT, SPT

παίρνω $\displaystyle PT = \frac{{a\sqrt {65} }}{5},b = \frac{{a\sqrt {13} }}{4}$ και με Πτολεμαίο στο OPST

βρίσκω

$a=\dfrac{8}{3}.$ Άρα ο ζητούμενο κύκλος διέρχεται από τα σημεία $\displaystyle O(0,0),S(4,2),P\left( {\frac{8}{3},0} \right).$

: Υγιής σχέση.Κ.png (17.16 KiB) Προβλήθηκε 1010 φορές

Με χρήση του τύπου $\displaystyle \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + {y^2}}&x&y&1 \\ {{x_1}^2 + {y_1}^2}&{{x_1}}&{{y_1}}&1 \\ {{x_2}^2 + {y_2}^2}&{{x_2}}&{{y_2}}&1 \\ {{x_3}^2 + {y_3}^2}&{{x_3}}&{{y_3}}&1 \end{array}} \right| = 0,$ για τη εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία

(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3),

Βρίσκω την εξίσωση του ζητούμενου κύκλου $\boxed{3x^2+3y^2-8x-14y=0}$

Αν το

βρίσκεται στον αρνητικό ημιάξονα, ακολουθώ την ίδια διαδικασία και βρίσκω τη δεύτερη εξίσωση που έχει γράψει πιο πάνω ο Νίκος.

Υγιής σχέση

Υγιής σχέση

Re: Υγιής σχέση

Re: Υγιής σχέση

Re: Υγιής σχέση

Re: Υγιής σχέση

Re: Υγιής σχέση

Μέλη σε σύνδεση