Πριν τις εξετάσεις...

M.S.Vovos · #1

Καλησπέρα, στην παρέα του με μια κατασκευή, λίγο πριν δώσουν τα παιδιά εξετάσεις.

Δίνεται ο δειγματικός χώρος $\Omega =\left \{ \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3},\omega _{4} \right \}$ και τα ενδεχόμενα $A=\left \{ \omega _{1},\omega _{2} \right \}$ και $B=\left \{ \omega _{2},\omega _{3},\omega _{4} \right \}$ . Για τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του $\Omega$ ισχύουν:

$\displaystyle \bullet P^{2}\left ( \omega _{1} \right )+5P^{2}\left ( \omega _{2} \right )+9P^{2}\left ( \omega _{3} \right )\leq 4P( \omega _{1} \right ))P\left ( \omega _{2} \right )+6P( \omega _{2} \right ))P\left ( \omega _{3} \right )$

$\displaystyle \bullet P\left ( \omega _{4} \right )=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x^{2}+1}+x-1}{x^{3}+x}-\frac{2}{3}$

A. Να δείξετε ότι $\displaystyle P\left ( \omega _{1} \right )=\frac{2}{5}$ , $\displaystyle P\left ( \omega _{2} \right )=\frac{1}{5}$ , $\displaystyle P\left ( \omega _{3} \right )=\frac{1}{15}$ και $\displaystyle P\left ( \omega _{4} \right )=\frac{1}{3}$ .

Β. Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα

και

είναι ασυμβίβαστα.

Γ. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων:

$\Gamma :$ "Το ενδεχόμενο να πραγματοποιούνται και τα δύο ενδεχόμενα A,B

ή κανένα".

$\Delta :$ "Το ενδεχόμενο να μην πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα A,B

".

Δ. Αν $\displaystyle M_{i}\left ( P\left ( \omega _{i} \right ),y_{i} \right )$ , με i=1,2,3,4

, είναι σημεία της ευθείας $\displaystyle y=e^{\alpha }\left ( x+1 \right )$ , όπου $\alpha$ πραγματική σταθερά, τότε να δείξετε ότι ισχύει η σχέση:

$\displaystyle 4\bar{y}+60\delta _{i}\geq 81\left ( \alpha +1 \right )$ , όπου $\bar{y}$ και $\delta _{i}$ η μέση τιμή και η διάμεσος, αντίστοιχα, των τεταγμένων των σημείων $M_{i}$ .

Φιλικά,
Μάριος

hlkampel · #2

M.S.Vovos έγραψε:Καλησπέρα, στην παρέα του με μια κατασκευή, λίγο πριν δώσουν τα παιδιά εξετάσεις.

Δίνεται ο δειγματικός χώρος $\Omega =\left \{ \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3},\omega _{4} \right \}$ και τα ενδεχόμενα $A=\left \{ \omega _{1},\omega _{2} \right \}$ και $B=\left \{ \omega _{2},\omega _{3},\omega _{4} \right \}$ . Για τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του $\Omega$ ισχύουν:

$\displaystyle \bullet P^{2}\left ( \omega _{1} \right )+5P^{2}\left ( \omega _{2} \right )+9P^{2}\left ( \omega _{3} \right )\leq 4P( \omega _{1} \right ))P\left ( \omega _{2} \right )+6P( \omega _{2} \right ))P\left ( \omega _{3} \right )$

$\displaystyle \bullet P\left ( \omega _{4} \right )=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x^{2}+1}+x-1}{x^{3}+x}-\frac{2}{3}$

A. Να δείξετε ότι $\displaystyle P\left ( \omega _{1} \right )=\frac{2}{5}$ , $\displaystyle P\left ( \omega _{2} \right )=\frac{1}{5}$ , $\displaystyle P\left ( \omega _{3} \right )=\frac{1}{15}$ και $\displaystyle P\left ( \omega _{4} \right )=\frac{1}{3}$ .

Β. Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα και είναι ασυμβίβαστα.

Γ. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων:

$\Gamma :$ "Το ενδεχόμενο να πραγματοποιούνται και τα δύο ενδεχόμενα ή κανένα".

$\Delta :$ "Το ενδεχόμενο να μην πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα ".

Δ. Αν $\displaystyle M_{i}\left ( P\left ( \omega _{i} \right ),y_{i} \right )$ , με , είναι σημεία της ευθείας $\displaystyle y=e^{\alpha }\left ( x+1 \right )$ , όπου $\alpha$ πραγματική σταθερά, τότε να δείξετε ότι ισχύει η σχέση:

$\displaystyle 4\bar{y}+60\delta _{i}\geq 81\left ( \alpha +1 \right )$ , όπου $\bar{y}$ και $\delta _{i}$ η μέση τιμή και η διάμεσος, αντίστοιχα, των τεταγμένων των σημείων $M_{i}$ .

Φιλικά,
Μάριος

Α. ${P^2}\left( {{\omega _1}} \right) + 5{P^2}\left( {{\omega _2}} \right) + 9{P^2}\left( {{\omega _3}} \right) \le 4P\left( {{\omega _1}} \right)P\left( {{\omega _2}} \right) + 6P\left( {{\omega _2}} \right)P\left( {{\omega _3}} \right) \Leftrightarrow$

${P^2}\left( {{\omega _1}} \right) - 4P\left( {{\omega _1}} \right)P\left( {{\omega _2}} \right) + 4{P^2}\left( {{\omega _2}} \right) + {P^2}\left( {{\omega _2}} \right) - 6P\left( {{\omega _2}} \right)P\left( {{\omega _3}} \right) + 9{P^2}\left( {{\omega _3}} \right) \le 0 \Leftrightarrow$

${\left( {P\left( {{\omega _1}} \right) - 2P\left( {{\omega _2}} \right)} \right)^2} + {\left( {P\left( {{\omega _2}} \right) - 3P\left( {{\omega _3}} \right)} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow$

$P\left( {{\omega _1}} \right) = 2P\left( {{\omega _2}} \right)\,\,\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,P\left( {{\omega _2}} \right) = 3P\left( {{\omega _3}} \right)\,\,\left( 2 \right)$ ως άθροισμα μη αρνητικών αριθμών.

$P\left( {{\omega _4}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} + x - 1}}{{{x^3} + x}} - \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow$

$P\left( {{\omega _4}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x - 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x + 1} \right)}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x + 1} \right)}} - \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow$

$P\left( {{\omega _4}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2} + 1 - {x^2} + 2x - 1}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x + 1} \right)}} - \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow$

$P\left( {{\omega _4}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{2}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x + 1} \right)}} - \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow$

$P\left( {{\omega _4}} \right) = 1 - \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow P\left( {{\omega _4}} \right) = \dfrac{1}{3}$

Ισχύει: $P\left( {{\omega _1}} \right) + P\left( {{\omega _2}} \right) + P\left( {{\omega _3}} \right) + P\left( {{\omega _4}} \right) = 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 1 \right),\left( 2 \right)}$

$2P\left( {{\omega _2}} \right) + 3P\left( {{\omega _3}} \right) + P\left( {{\omega _3}} \right) + \dfrac{1}{3} = 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 2 \right)}$

$10P\left( {{\omega _3}} \right) = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow P\left( {{\omega _3}} \right) = \dfrac{1}{{15}}$

Από τις $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ παίρνουμε $P\left( {{\omega _2}} \right) = \dfrac{1}{5}$ και $P\left( {{\omega _1}} \right) = \dfrac{2}{5}$

Β. Είναι ${\rm A} \cap {\rm B} = \left\{ {{\omega _2}} \right\} \ne \emptyset$ άρα τα ${\rm A},{\rm B}$ δεν είναι ασυμβίβαστα.

Γ. Είναι ${\rm A} \cup {\rm B} = \Omega \Rightarrow P\left( {{\rm A} \cup {\rm B}} \right) = P\left( \Omega \right) = 1$

Άρα το ενδεχόμενο ${\rm A} \cup {\rm B}$ είναι βέβαιο οπότε το αντίθετο του είναι αδύνατο.

$P\left( \Gamma \right) = \left[ {\left( {{\rm A} \cap {\rm B}} \right) \cup {{\left( {{\rm A} \cup {\rm B}} \right)}^\prime }} \right] = P\left( {A \cap B} \right) + P\left[ {{{\left( {A \cup B} \right)}^\prime }} \right] = P\left( {{\omega _2}} \right) + 0 = \dfrac{1}{5}$

$P\left( \Delta \right) = P\left[ {{{\left( {A \cap B} \right)}^\prime }} \right] = P\left[ {{{\left( {{\omega _2}} \right)}^\prime }} \right] = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}$

Δ. Είναι: ${y_1} = {e^\alpha }\left( {\dfrac{2}{5} + 1} \right) = \dfrac{7}{5}{e^\alpha } = \dfrac{{21}}{{15}}{e^\alpha }$

Ομοίως ${y_2} = \dfrac{{18}}{{15}}{e^\alpha }$ , ${y_3} = \dfrac{{16}}{{15}}{e^\alpha }$ και ${y_4} = \dfrac{{19}}{{15}}{e^\alpha }$

$\overline y = \dfrac{{{y_1} + {y_2} + {y_3} + {y_4}}}{4} = \dfrac{5}{4}{e^\alpha }$

Οι τεταγμένες σε αύξουσα σειρά είναι: ${y_3},{y_2},{y_4},{y_1}$ επομένως η διάμεσος τους είναι:

${\delta _i} = \dfrac{{{y_2} + {y_4}}}{2} = \dfrac{5}{4}{e^\alpha }$

Πρέπει να δείξουμε ότι:

$4\overline y + 60{\delta _i} \ge 81\left( {a + 1} \right) \Leftrightarrow 5{e^a} + 76{e^a} \ge 81\left( {a + 1} \right) \Leftrightarrow {e^a} - a - 1 \ge 0\,\,\,\left( 3 \right)$

Θεωρώ τη συνάρτηση $f\left( x \right) = {e^x} - x - 1,\,\,x \in R$

Είναι $f'\left( x \right) = {e^x} - 1$

$f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0$

Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $\left[ {0, + \infty } \right)$ και γνησίως φθίνουσα στο $\left( { - \infty ,0} \right]$ και παρουσιάζει ελάχιστο για x = 0

το $f\left( 0 \right) = 0$ ,

Άρα για $x \in R$ ισχύει $f\left( x \right) \ge f\left( 0 \right) \Leftrightarrow {e^x} - x - 1 \ge 0$ δηλαδή ισχύει η σχέση $\left( 3 \right)$

Πριν τις εξετάσεις...

Πριν τις εξετάσεις...

Re: Πριν τις εξετάσεις...

Μέλη σε σύνδεση