Μια κατασκευή...

M.S.Vovos · #1

Θεωρούμε την πραγματική σταθερά $\lambda$ και τη συνάρτηση $\displaystyle f(x)=e^{-\left ( \lambda ^{2}-2\lambda +2 \right )\cdot x}$ , για την οποία ισχύει $\displaystyle f''(x)=2f(x)+f'(x)$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

A. Να δείξετε ότι $\lambda =1$ και να εξετάσετε αν η συνάρτηση

παρουσιάζει ακρότατα στο πεδίο ορισμού της.

Β. Να υπολογίσετε το $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-e^{2x}}{xe^{2x}}$ .

Γ. Να δείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

στο σημείο $M(\alpha ,f(\alpha ))$ , με $\alpha >-1$ , και τους άξονες συντεταγμένων δίνεται από τη σχέση $\displaystyle E(\alpha )=\frac{f(\alpha )\left ( \alpha +1 \right )^{2}}{2}$ . Στη συνέχεια, να βρείτε την τιμή τoυ $\alpha$ , ωστε το παραπάνω εμβαδό να γίνεται μέγιστο.

Δ. Να δείξετε ότι για κάθε $x_{i}>-1$ , με $i=1,2,...,\nu$ , ισχύει η σχέση $\displaystyle \nu -x_{1}-x_{2}-...-x_{\nu }\leq \sum_{i=1}^{\nu }f\left ( x_{i} \right )\leq \frac{1}{x_{1}+1}+\frac{1}{x_{2}+1}+...+\frac{1}{x_{\nu }+1}$ .

Φιλικά,
Μάριος

#2

M.S.Vovos έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Άλλη μια κατασκευή!

Θεωρούμε την πραγματική σταθερά $\lambda$ και τη συνάρτηση $\displaystyle f(x)=e^{-\left ( \lambda ^{2}-2\lambda +2 \right )\cdot x}$ , για την οποία ισχύει $\displaystyle f''(x)=2f(x)+f'(x)$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

A. Να δείξετε ότι $\lambda =1$ και να εξετάσετε αν η συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατα στο πεδίο ορισμού της.

Β. Να υπολογίσετε το $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-e^{2x}}{xe^{2x}}$ .

Γ. Να δείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο $M(\alpha ,f(\alpha ))$ , με $\alpha >-1$ , και τους άξονες συντεταγμένων δίνεται από τη σχέση $\displaystyle E(\alpha )=\frac{f(\alpha )\left ( \alpha +1 \right )^{2}}{2}$ . Στη συνέχεια, να βρείτε την τιμή τoυ $\alpha$ , ωστε το παραπάνω εμβαδό να γίνεται μέγιστο.

Δ. Να δείξετε ότι για κάθε $x_{i}>-1$ , με $i=1,2,...,\nu$ , ισχύει η σχέση $\displaystyle \nu -x_{1}-x_{2}-...-x_{\nu }\leq \sum_{i=1}^{\nu }f\left ( x_{i} \right )\leq \frac{1}{x_{1}+1}+\frac{1}{x_{2}+1}+...+\frac{1}{x_{\nu} + 1}$ .

Φιλικά,
Μάριος

Α. H συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ ως σύνθεση παραγωγίσιμων με $\displaystyle{f'(x)=-( \lambda ^{2}-2\lambda +2)e^{-\left ( \lambda ^{2}-2\lambda +2 \right )\cdot x}}$ .
H συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ ως σύνθεση παραγωγίσιμων με $\displaystyle{f''(x)=( \lambda ^{2}-2\lambda +2)^2e^{-\left ( \lambda ^{2}-2\lambda +2 \right )\cdot x}}$ .

Συνεπώς από τη σχέση $\displaystyle{f''(x)=2f(x)+f'(x)}$ προκύπτει ότι:
$\displaystyle{( \lambda ^{2}-2\lambda +2)^2=2-( \lambda ^{2}-2\lambda +2) \Leftrightarrow ( \lambda ^{2}-2\lambda +2)^2+( \lambda ^{2}-2\lambda +2) -2=0\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} w^2+w-2=0\\ w=\lambda ^{2}-2\lambda +2 \end{matrix}}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} w=1,w=-2\\ w=\lambda ^{2}-2\lambda +2 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \lambda ^{2}-2\lambda +2=1\\ or \\ \lambda ^{2}-2\lambda +2=-2\end{matrix} \Leftrightarrow \lambda =1}$ .

Για $\displaystyle{\lambda=1}$ έχουμε $\displaystyle{f(x)=e^{-x},x \in \mathbb{R}}$ και $\displaystyle{f'(x)=-e^{-x},x \in \mathbb{R}}$ .

Συνεπώς $\displaystyle{f'(x)<0,x \in \mathbb{R}}$ , οπότε η συνάρτηση

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$ , άρα δεν παρουσιάζει ακρότατα.

Β. Για

κοντά στο

έχουμε:
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-e^{2x}}{xe^{2x}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-e^{2x}(1-e^{-x})}{xe^{2x}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-x}-1}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-x}-e^{-0}}{x-0}=f'(0)=-e^{0}=-1}$ .

Γ.Έχουμε ότι $\displaystyle{f(a)=e^{-a},f'(a)=-e^{-a}}$ ,
οπότε η ζητούμενη εξίσωση εφαπτομένης είναι: $\displaystyle{y-e^{-a}=-e^{-a}(x-a) \Leftrigharrow y=-e^{-a}x+ae^{-a}+e^{-a}}$ .
Για x=0

έχουμε $y=ae^{-a}+e^{-a}=e^{-a}(a+1)$ .
Για y=0

έχουμε

.

Επομένως για a>-1

έχουμε:
$\displaystyle{E(a)=\frac{1}{2}|(a+1)e^{-a}||a+1|=\frac{(a+1)^2e^{-a}}{2}=\frac{(a+1)^2f(a)}{2}}$ .

Δ. Ισχύει $\displaystyle{e^x \geq x +1, x \in \mathbb{R}}$ (αυτό χρειάζεται απόδειξη

).
Τότε θέτοντας όπου

το

βρίσκουμε $e^{-x} \geq -x+1,x \in \mathbb{R}$ .
Επομένως:
$\displaystyle{e^{-x_1} \geq -x_1+1,e^{-x_2} \geq -x_2+1, ..., e^{-x_\nu} \geq -x_{nu}+1}$
και προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει:
$\displaystyle{e^{-x_1}+e^{-x_2}+ ...+e^{-x_{\nu}}=\geq -x_1+1-x_2+1+ ... +-x_{nu}+1 \Leftrightarrow \nu-x_1-x_2-...-x_{\nu} \leq \sum_{i=1}^{\nu}f(x_i)}(I)$ .

Επιπλέον για x>-1

ισχύει:
$\displaystyle{e^x \geq x +1 \Leftrightarrow e^{-x} \leq \frac{1}{x+1}, x \in \mathbb{R}}$ .

Συνεπώς:
$\displaystyle{e^{-{x_1}} \leq \frac{1}{x_1+1},e^{-{x_2}} \leq \frac{1}{x_2+1},..., e^{-{x_{\nu}}} \leq \frac{1}{x_{\nu}+1}}$ ,
και προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει:
$\displaystyle{e^{-{x_1}} + e^{-{x_2}} + ... +e^{-{x_{\nu}}} \leq \frac{1}{x_1+1}+ \frac{1}{x_2+1}+...+ \frac{1}{x_{\nu}+1} \Leftrightarrow \sum_{i=1}^{\nu}f(x_i) \leq \frac{1}{x_1+1}+ \frac{1}{x_2+1}+...+ \frac{1}{x_{\nu} + 1 }} (II)$ .

Από τις (I),(II)

προκύπτει το ζητούμενο.

Μια κατασκευή...

Μια κατασκευή...

Re: Μια κατασκευή...

Μέλη σε σύνδεση