Eφαπτομένη σε δύο σημεία

#1

Δίνεται η συνάρτηση $r\left( x\right) =x^{4}-4x^{2}-3x$ . Να βρεθεί ευθεία που να είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της

σε δύο διαφορετικά σημεία.

Σχόλιο: Η άσκηση τυπικά λύνεται με την ύλη της Γενικής Παιδείας. 'Εχει όμως κάποια δύσκολα σημεία που θα την τοποθετούσαν στην θεματική της Κατεύθυνσης. Ωστόσο είναι χρήσιμη για να κινήσει το ενδιαφέρον των ικανών μαθητών είτε σε ατομική προσπάθεια είτε για δουλειά στην τάξη

Μαυρογιάννης

Ανδρέας Πούλος · #2

Νίκο,
μήπως είναι πιο ενδιαφέρον να τροποποιηθεί λίγο η εκφώνηση;
Να αποδειχθεί ότι μόνο μία ευθεία είναι εφαπτομένη της Cr σε δύο διαφορετικά σημεία.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

#3

nsmavrogiannis έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $r\left( x\right) =x^{4}-4x^{2}-3x$ . Να βρεθεί ευθεία που να είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της σε δύο διαφορετικά σημεία.

1ος τρόπος:

Είναι r(x)=(x^2-2)^2-3x-4

. Η ευθεία που εφάπτεται στη γραφική παράσταση της y=(x^2-2)^2

σε δυο διαφορετικά σημεία είναι προφανώς ο

-άξονας. Συνεπώς, η ζητούμενη ευθεία είναι η y=-3x-4

.

2ος τρόπος:

Η ευθεία y=ax+b

τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $r(x)=x^{4}-4x^{2}-3x$ το πολύ σε δυο σημεία αν και μόνο αν η γραφική παράσταση του πολυωνύμου p(x)=x^4-4x^2-(3+a)x-b

τέμνει τον

-άξονα σε δυο σημεία, δηλαδή, το πολυώνυμο έχει δυο πολλαπλές ρίζες. Εφόσον είναι βαθμού τέσσερα, η πολλαπλότητα κάθε ρίζας είναι δυο, κι άρα δεν υπάρχουν άλλες ρίζες. Αν οι ρίζες είναι

,

, τότε είναι p(x)=(x-c)^2(x-d)^2

.

Κάνοντας τις πράξεις στο δεύτερο μέλος

x^4-4x^2-(3+a)x-b=(x-c)^2(x-d)^2

κι εξισώνοντας τους αντίστοιχους συντελεστές παίρνουμε

c+d=0

(1)

(2)

(3)

(4)

Από (1), (3) έπεται ότι a=-3

κι από (1), (2), ότι c^2=d^2=2

, που σε συνδυασμό με την (4) δίνει b=-4

.

Συνεπώς, η (μόνη) ζητούμενη ευθεία είναι η y=-3x-4

.

Παρατήρηση: Τουλάχιστον ακόμη ένας τρόπος μπορεί να δοθεί χρησιμοποιώντας παραγώγους. Δείτε και το παρόμοιο πρόβλημα Β3470 του KoMal http://www.komal.hu/lap/2002-ang/b3470.e.shtml

Φιλικά,

Αχιλλέας

#4

Ανδρέας Πούλος έγραψε: μήπως είναι πιο ενδιαφέρον να τροποποιηθεί λίγο η εκφώνηση;
Να αποδειχθεί ότι μόνο μία ευθεία είναι εφαπτομένη της Cr σε δύο διαφορετικά σημεία.

Ανδρέα νομίζω ότι δεν κερδίζουμε κάτι. Από την διαδικασία εύρεσης προκύπτει και η μοναδικότητα.

achilleas έγραψε:Παρατήρηση: Τουλάχιστον ακόμη ένας τρόπος μπορεί να δοθεί χρησιμοποιώντας παραγώγους.

Αχιλλέα δυστυχώς στο συγκεκριμένο πλαίσιο συζήτησης (Μαθηματικά Γ' Τάξης) η προσέγγιση με παραγώγους είναι και ο μοναδικός πρόσφορος τρόπος αφού τα παιδιά δεν γνωρίζουν την σύνδεση του σημείου επαφής με την πολλαπλότητα ρίζας. Αν δεν δοθεί από κάποιον άλλο θα επανέλθω.
Μαυρογιάννης

#5

Νίκο, πράγματι, ο 2ος τρόπος είναι "εκτός" λυκείου, αλλά ο 1ος, με λίγες περισσότερες λεπτομέρειες ίσως, νομίζω πως είναι εντός, έτσι δεν είναι;

Φιλικά,

Αχιλλέας

#6

achilleas έγραψε:Νίκο, πράγματι, ο 2ος τρόπος είναι "εκτός" λυκείου, αλλά ο 1ος, με λίγες περισσότερες λεπτομέρειες ίσως, νομίζω πως είναι εντός, έτσι δεν είναι;

Αχιλλέα έτσι είναι. Τυπικά μιλώντας μπορούμε να πούμε ότι
"Είναι $r(x)=(x^{2}-2)^{2}-3x-4$ " και να συνεχίσουμε αποδεικνύοντας ότι η y=-3x-4

είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της

στα σημεία $\left( \pm \sqrt{2},r\left( \pm \sqrt{2}\right) \right)$
Μια τέτοια λύση μπορούμε να την δώσουμε εμείς γιατί ξέρουμε κάποιες πληροφορίες που συμπυκνώνονται στο "Λήμμα"

Αν $f\left( x\right) =g^{2}\left( x\right) h\left( x\right) +ax+b$ με παραγωγίσιμες και $\rho$ είναι μια οποιαδήποτε ρίζα της τότε η είναι εφαπτομένη της $\mathcal{C}_{f}$ στο σημείο $M\left( \rho ,f\left( \rho \right) \right)$

που αποδεικνύεται σε δυο σειρές: Η y=ax+b

διέρχεται από το

και έχει την σωστή κλίση αφού με παραγώγιση βρίσκουμε $\alpha =f^{\prime }\left( \rho \right)$ .
Από πλευράς απόδειξης θα έχουμε δίκιο αλλά θα πρόκειται για μια λύση που μάλλον δύσκολα θα πέρναγε από το μυαλό ενός μαθητή.
Μαυρογιάννης

7apostolis · #7

Καλημέρα,
μια σχολική αντιμετώπιση:

Έστω a, b οι τετμημένες των σημείων με την κοινή εφαπτομένη. Τότε a $\neq$ b και για την κοινή εφαπτομένη ε ισχύει (τύπος σχολικού βιβλίου κατεύθυνσης):
y=r'(a)x+r(a)-ar'(a) $\equiv$ r'(b)x+r(b)-br'(b).

Ισοδύναμα έχουμε r'(a)=r'(b) και r(a)-ar'(a)=r(b)-br'(b).

Ισοδύναμα από την πρώτη έχουμε, μετά από λίγες πράξεις, a^2+ab+b^2=2

και από την δεύτερη (b-a)(b+a)(3b^2+3a^2+4)=0

(ελπίζω να απέφυγα αριθμητικά λάθη).

Από την τελευταία ισοδύναμα προκύπτει (αφού a $\neq$ b) ότι b=-a
και τελικά οι τετμημένες προκύπτουν $\pm \sqrt{2}$ .

Με αντικατάσταση στην εξίσωση της ε προκύπτει τελικά ε:y=-3x-4.

Αποστόλης

#8

7apostolis έγραψε:Ισοδύναμα έχουμε r'(a)=r'(b) και r(a)-ar'(a)=r(b)-br'(b).

Ισοδύναμα από την πρώτη έχουμε, μετά από λίγες πράξεις, και από την δεύτερη (ελπίζω να απέφυγα αριθμητικά λάθη).

Από την τελευταία ισοδύναμα προκύπτει (αφού a $\neq$ b) ότι b=-a
και τελικά οι τετμημένες προκύπτουν $\pm \sqrt{2}$ .

Αποστόλη οι πράξεις μας συμφωνούν εκτός από ένα σημείο. Μου προκύπτει
$r\left( a\right) -ar^{\prime }\left( a\right) -\left( r\left( b\right) -br^{\prime }\left( b\right) \right) =\allowbreak -\left( a+b\right) \left( a-b\right) \left( 3a^{2}+3b^{2}-4\right)$
και επομένως πριν καταλήξουμε στο ότι a=-b

χρειάζεται να αποκλείσουμε την περίπτωση
$ab+a^{2}+b^{2}-2=0$
$3a^{2}+3b^{2}-4=0$
Αυτό προσθέτει μια επιπλέον δυσκολία στα παιδιά. Εμείς οι μεγάλοι εύκολα θα δούμε ότι
από τις δύο αυτές σχέσεις προκύπτει
$3a^{2}+3b^{2}-4-2\left( ab+a^{2}+b^{2}-2\right) =0$
και επομένως
$\left( a-b\right) ^{2}=0$
δηλαδή
a=b

που απορρίπτεται.
Μαυρογιάννης

Eφαπτομένη σε δύο σημεία

Eφαπτομένη σε δύο σημεία

Re: Eφαπτομένη σε δύο σημεία

Re: Eφαπτομένη σε δύο σημεία

Re: Eφαπτομένη σε δύο σημεία

Re: Eφαπτομένη σε δύο σημεία

Re: Eφαπτομένη σε δύο σημεία

Re: Eφαπτομένη σε δύο σημεία

Re: Eφαπτομένη σε δύο σημεία

Μέλη σε σύνδεση