Ανισότητα

Tolaso J Kos · #1

Σε τρίγωνο ABC

, να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\frac{1}{a} \sqrt{\frac{h_b^2+h_c^2}{h_b h_c}} + \frac{1}{b} \sqrt{\frac{h_c^2+ h_a^2}{h_c h_a}} + \frac{1}{c} \sqrt{\frac{h_a^2 + h_b^2}{h_b h_a}} \leq \frac{\sqrt{6} R}{4r^2}}$
Άνευ λύσης ...

#2

Με χρήση της $\displaystyle{h_a=\frac{2E}{a}}$ , όπου $\displaystyle{E}$ το εμβαδόν, η ζητούμενη γράφεται

$\displaystyle{\sum \frac{1}{c}\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2ab}}\leq \frac{\sqrt{3}R}{4r^2}.}$

Λόγω της ανισότητας του Τσίντσιφα (βλ. American Mathematical Monthly, Problem E2471) $\displaystyle{\boxed{\frac{m_a}{h_a}\geq \frac{b^2+c^2}{2bc}}}$

και επειδή $\displaystyle{\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2ab}}\leq \frac{a^2+b^2}{2ab}}$

αρκεί να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{\sum \frac{m_a}{ah_a}\leq \frac{\sqrt{3}R}{4r^2}}$ , δηλαδή ότι

$\displaystyle{r(m_a+m_b+m_c)\leq \frac{\sqrt{3}}{2}Rs.}$

Επειδή ισχύει $\displaystyle{m_a\leq \frac{sR}{a}}$ , αρκεί να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{SrR\sum \frac{1}{a}\leq \frac{\sqrt{3}}{2}sR,}$

η οποία είναι η γνωστή $\displaystyle{\sum \frac{1}{a}\leq \frac{\sqrt{3}}{2r}.}$

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση