Ελαχιστοκάθετη

KARKAR · #1

: Μεγιστοκάθετη.png (10.06 KiB) Προβλήθηκε 1055 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle OAB$ το μήκος της πλευράς OB=a

, είναι σταθερό , ενώ της

μεταβάλλεται .

Οι εφαπτόμενες του περικύκλου του τριγώνου στα O , A

, τέμνονται στο σημείο

. Η κάθετη της

στο

, τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

. Βρείτε το ελάχιστο μήκος του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 22, 2018 12:52 pm
Μεγιστοκάθετη.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle OAB$ το μήκος της πλευράς , είναι σταθερό , ενώ της μεταβάλλεται .

Οι εφαπτόμενες του περικύκλου του τριγώνου στα , τέμνονται στο σημείο . Η κάθετη της

στο , τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Βρείτε το ελάχιστο μήκος του τμήματος .

: Ελαχιστοκάθετη.png (17.8 KiB) Προβλήθηκε 1037 φορές

Έστω

μέσο του

Επειδή

είναι συμμετροδιάμεσος θα είναι $\displaystyle A\widehat BM = E\widehat BO = E\widehat PB,$ οπότε

τα τρίγωνα ABM, ABP

είναι όμοια και: $\displaystyle \frac{{2AB}}{x} = \frac{{PB}}{{BM}} \Leftrightarrow PB = \frac{{2\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}{x} \cdot \frac{{\sqrt {4{a^2} + {x^2}} }}{2} \Leftrightarrow$

$\displaystyle PB = f(x) = \frac{{\sqrt {({a^2} + {x^2})(4{a^2} + {x^2})} }}{x}$ με $\displaystyle f'(x) = \frac{{{x^4} - 4{a^4}}}{{{x^2}\sqrt {{x^4} + 5{a^2}{x^2} + {a^4}} }},$ απ' όπου προκύπτει ότι

η

έχει ελάχιστη τιμή $\boxed{ B{P_{\min }} = 3a}$ για $\boxed{ x = a\sqrt 2}$

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #3

Αφού με πρόλαβε ο κύριος Γιώργος θα γράψω απλά το γιατί εμφανίζεται το ελάχιστο όταν $OA=x=\sqrt{2}a$ .

Αφού

σταθερό έχουμε πως το ελάχιστο του

εμφανίζεται όταν μεγιστοποιείται το $\sin{\widehat{BPO}}$ , δηλαδή όταν μεγιστοποιείται η γωνία $\widehat{BPO}$ .

Ισχύει ότι $\widehat{BPO}=\widehat{OBE}$ , άρα πρέπει να βρούμε πότε μεγιστοποιείται η γωνία $\widehat{OBE}$ , και αφού

σταθερό πρέπει να μεγιστοποιείται το

.

Είναι γνωστό πως η

είναι η συμμετροδιάμεσος της κορυφής

άρα από γνωστή μετρική σχέση ισχύει ότι $\dfrac{OE}{EA}=\dfrac{OB^2}{BA^2}=\dfrac{a^2}{y^2}\Leftrightarrow EA=\dfrac{OE\cdot y^2}{a^2}$ , όπου y=BA

.

Ξέρουμε ταυτόχρονα πως $OE+EA=x\Leftrightarrow OE(1+\dfrac{y^2}{a^2})=x\Leftrightarrow$

$OE(\dfrac{a^2+y^2}{a^2})=x\Leftrightarrow OE=\dfrac{xa^2}{a^2+y^2}$

Ξέρουμε από Πυθαγόρειο πως y^2=a^2+x^2

, άρα $OE=\dfrac{xa^2}{2a^2+x^2}$

Θέλουμε λοιπόν να μεγιστοποιείται το $\dfrac{xa^2}{2a^2+x^2}$ . Όμως έχουμε ότι:

$\dfrac{xa^2}{2a^2+x^2}=\dfrac{xa^2}{(\sqrt{2}a)^2+x^2}\leq \dfrac{xa^2}{2\sqrt{2}ax}=\dfrac{a}{2\sqrt{2}}$ , με ισότητα αν $x=\sqrt{2}a$ .

Πράγματι λοιπόν το ελάχιστο του

επιτυγχάνεται όταν $OA=x=\sqrt{2}a$ και εύκολα βρίσκουμε πως σε αυτή την περίπτωση είναι PB=3a

.

#4

Έστω

το μέσο του $OA\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K$ το μέσο της διαμέτρου

. Προφανώς $KS \bot OA\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,2KM = OB = a$ . Θέτω $MO = OA = x\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MS = y$ .

Φέρνω την εφαπτομένη του κύκλου στο

που τέμνει στα T,Z

τις

.

Θέτω ακόμα $BP = u\,\,,\,\,PT = R,\,\,\,TO = m$ . Η

είναι η συμμετροδιάμεσος στο

$\vartriangle BOA$ και OB//MS

, θα είναι $\widehat {MSB} = \widehat {OBS} = \widehat {MBA} = \widehat {\theta \,}\,$ ,

Το τετράπλευρο PBMS

είναι εγγράψιμο οπότε εύκολα έχω :

$\widehat {ZBS} = \widehat {ZBO} + \widehat {OBS} = \widehat \omega + \widehat \theta = \widehat \phi = \widehat {BSZ}$ . Άρα τα T,Z

είναι μέσα των PA,PS

.

Είναι λοιπόν : $PO = PT + TO = R + m = R + R - 2x = 2(R - x) = 2TM\,\,(1)$

Από τα ορθογώνια τρίγωνα $BTA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AKS$ έχω :

$\left\{ \begin{gathered} O{B^2} = OT \cdot OA \hfill \\ A{M^2} = MK \cdot MS \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {a^2} = m \cdot 2x \hfill \\ {x^2} = \frac{a}{2} \cdot y \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {a^2} = (R - 2x)2x \hfill \\ 2{x^2} = ay \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Αλλά R - x = TM

και έτσι οι προηγούμενες δίδουν:

: Ελαχιστοκάθετη_new.png (36 KiB) Προβλήθηκε 957 φορές

$\left\{ \begin{gathered} {a^2} = (TM - x)2x \hfill \\ {x^2} = ay \hfill \\ \end{gathered} \right.$ με απαλοιφή του

προκύπτει : $\boxed{TM = \frac{{2a(y + a)}}{{\sqrt {2ay} }}}$

Έτσι και λόγω της (1)

, $OP = 2TM = \dfrac{{2a(y + a)}}{{\sqrt {2ay} }} \Rightarrow O{P^2} = \dfrac{{2a{{(y + a)}^2}}}{y}$

και άρα από το Π. Θ. στο OBP

έχω : $\boxed{{u^2} = f(y) = {a^2} + \frac{{2a{{(y + a)}^2}}}{y}}$ .

Αλλά $\dfrac{{2a{{(y + a)}^2}}}{y} \geqslant 8{a^2} \Leftrightarrow {(y - a)^2} \geqslant 0$ .

Συνεπώς η f(y)

παρουσιάζει ελάχιστο για $\boxed{y = a}$ το $f(a) = 9{a^2} \Rightarrow \boxed{{u_{\min }} = 3a}$

Ελαχιστοκάθετη

Ελαχιστοκάθετη

Re: Ελαχιστοκάθετη

Re: Ελαχιστοκάθετη

Re: Ελαχιστοκάθετη

Μέλη σε σύνδεση