ΙΣΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΕΜΒΑΔΩΝ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Έστω τρίγωνο ABC.

Έστω τα παράκεντρά του $I_{a},I_{b},I_{c}.$
Έστω D E F

το τρίγωνο που έχει κορυφές τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του ABC

με τις πλευρές του.
Έστω PQR

το ορθικό τρίγωνο του D E F .

Αποδείξτε ότι
$\left (I_{a}I_{b}I_{c} \right )\cdot \left ( PQR \right )=\left ( ABC \right )\cdot \left ( D E F \right )$

Το θέμα αυτό προτείνεται για να προβληθούν κάποια άλλα προγενέστερα.

Zητώ χίλια συγνώμη γιατί στην αρχική διατύπωση έγραψα ότι PQR

το ορθικό τρίγωνο του A B C

αντί του σωστού D E F

Aλέξανδρε , ευχαριστώ που ασχολήθηκες και βρήκες το λάθος...
Η χρονιά που λήγει ήταν πολύ κουραστική...
Αυτό είναι διαπίστωση , όχι όμως δικαιολογία για το λάθος μου.
Θα μπορούσα πολύ απλά να γράψω την διατύπωση σε ένα χαρτί πριν την γράψω στο mathematica.
Έτσι θα ήμουν πιο προσεκτικός...

Al.Koutsouridis · #2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 25, 2019 4:31 pm
Έστω τρίγωνο
Έστω τα παράκεντρά του $I_{a},I_{b},I_{c}.$
Έστω το τρίγωνο που έχει κορυφές τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του με τις πλευρές του.
Έστω το ορθικό τρίγωνο του
Αποδείξτε ότι
$\left (I_{a}I_{b}I_{c} \right )\cdot \left ( PQR \right )=\left ( ABC \right )\cdot \left ( D E F \right )$

Το θέμα αυτό προτείνεται για να προβληθούν κάποια άλλα προγενέστερα.

Καλησπέρα,

Οι σκέψεις μου είναι οι παρακάτω και με οδηγούν στο συμπέρασμα ότι εν γένει δεν ισχύει αυτή η σχέση. Πιθανόν να κάνω λάθος.

Εύκολα βλέπουμε ότι τα τρίγωνα D E F

και $I_{a}I_{b}I_{c}$ είναι όμοια. Αν $R^{\prime}$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $I_{a}I_{b}I_{c}$ τότε ${R^{\prime}=2R$ . Επειδή ο κύκλος ABC

είναι ο κύκλος Euler του τριγώνου $I_{a}I_{b}I_{c}$ .

Ο λόγος ομοιότητας των τριγώνων $I_{a}I_{b}I_{c}$ και D E F

είναι $\lambda = \dfrac{r}{R^{\prime}}$ . Οπότε θα έχουμε

$\dfrac{\left ( D E F\right)}{\left ( I_{a}I_{b}I_{c} \right )}=\left (\dfrac{r}{2R} \right )^2=\dfrac{r^2}{4R^2}$ (1)

Από την σχέση που συνδέει το λόγο του εμβαδού ποδικού τριγώνου προς το εμβαδόν τριγώνου εδώ, εφόσον το ορθικό τρίγωνο είναι το ποδικό του ορθόκεντρου θα έχουμε

$\dfrac{\left ( PQR \right)}{\left ( ABC \right )} = \dfrac{1}{4} \left | 1-\dfrac{OH^2}{R^2} \right |=\dfrac{\left | R^2-OH^2\right|}{4R^2}$ (2)

Από τις (1) και (2) αρκεί να δείξουμε ότι $\left | R^2-OH^2\right| =r^2$

κάτι που δε φαίνεται να ισχύει σε όλα τα τρίγωνα. Μήπως είναι ανισωτική η σχέση προς απόδειξη;

Math Rider · #3

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 25, 2019 4:31 pm
Έστω τρίγωνο
Έστω τα παράκεντρά του $I_{a},I_{b},I_{c}.$
Έστω το τρίγωνο που έχει κορυφές τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του με τις πλευρές του.
Έστω το ορθικό τρίγωνο του
Αποδείξτε ότι
$\left (I_{a}I_{b}I_{c} \right )\cdot \left ( PQR \right )=\left ( ABC \right )\cdot \left ( D E F \right )$

Είναι $(I_{a}I_{b}I_{c})=2Rs$ , διάφορες αποδείξεις εδώ .
Αν

είναι το εμβαδόν του ορθικού τριγώνου ενός οξυγώνιου τριγώνου ABC

εμβαδού

τότε ισχύει
$E'=2\cos{A}\cos{B}\cos{C} \cdot E$ (ίδια παραπομπή) . Επειδή το D E F

είναι οξυγώνιο με γωνίες $\dfrac{\pi -A}{2}$ , $\dfrac{\pi -B}{2}$ και $\dfrac{\pi -C}{2}$ ,
εφαρμόζοντας τον προηγούμενο τύπο παίρνουμε εύκολα ότι
$(PQR) = 2\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}(D E F)= \dfrac{r}{2R} (D E F)$ .

Επομένως $\left (I_{a}I_{b}I_{c} \right )\cdot \left ( PQR \right )=2Rs \cdot \dfrac{r}{2R} (D E F)=sr\cdot(D E F)= \left ( ABC \right )\cdot \left ( D E F \right )$ .

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

Να ευχαριστήσω τον Νίκο για την λύση του.
Ας γράψω πώς έφτασα στην διατύπωση της πρότασης.

Το $I_{a}I_{b}I_{c}$ είναι όμοιο με το D E F

με λόγο ομοιότητας $\displaystyle \frac{2R}{r}$
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 94#p286094
Άρα λοιπόν $\displaystyle\frac{\left (I_{a}I_{b}I_{c} \right )}{\left ( D E F \right )}=\left ( \frac{2R}{r} \right )^{2}$

Το ABC

είναι όμοιο με το PQR

με λόγο ομοιότητας $\displaystyle \frac{2R}{r}$
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 22&t=64236
Άρα λοιπόν $\displaystyle\frac{\left (ABC \right )}{\left ( PQR \right )}=\left ( \frac{2R}{r} \right )^{2}$

Συνεπώς

$\displaystyle\frac{\left (ABC \right )}{\left ( PQR \right )}=\frac{\left (I_{a}I_{b}I_{c} \right )}{\left ( D E F \right )}$

και όλα τελειώνουν...

ΙΣΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΕΜΒΑΔΩΝ

ΙΣΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΕΜΒΑΔΩΝ

Re: ΙΣΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΕΜΒΑΔΩΝ

Re: ΙΣΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΕΜΒΑΔΩΝ

Re: ΙΣΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΕΜΒΑΔΩΝ

Μέλη σε σύνδεση