Κυκλικές Αναζητήσεις

[min##]

Μια "φρέσκια":
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με το περίκεντρό του.
Έστω μια ευθεία που περνά από το .Ορίζουμε ως το τρίγωνο που ορίζεται από τις συμμετρικές της προς τις και ως τον περίκυκλο του τριγώνου αυτού.

α)Νδο. ο δεν είναι δυνατόν να εφάπτεται στον .

Έστω τώρα ότι έχουμε δύο ευθείες που περνούν από το τέτοιες ώστε οι να εφάπτονται.

β)Να αποδείξετε ότι το σημείο επαφής βρίσκεται στον .

γ)(με αμφιβολίες) Να αποδείξετε ότι το σημείο είναι το μοναδικό σημείο στο εσωτερικό του με την τελευταία ιδιότητα.
Ορίζουμε τώρα αναλόγως τον για τυχαίο σημείο στο εσωτερικό του /και ευθεία που διέρχεται από αυτό.
Θεωρούμε ότι οι τέμνονται στα .

δ) Να αποδείξετε ότι η εφάπτεται σε σταθερή κωνική-καθώς μεταβάλλουμε την .

Σημ.Επέλεξα την (αρκετά) φιλικότερη μορφή .Παρ'όλα αυτά,κάποια ερωτήματα ίσως αποδειχτούν δύσκολα

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Για τα α) και β) αρκεί να δείξουμε πως ο είναι ορθογώνιος στον ...

Θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο "Deleting Evil Points".

Έστω πως η ευθεία τέμνει τις στα αντίστοιχα. Έστω πως οι συμμετρικές της ως προς τις και τέμνονται στο , ενώ ομοίως ορίζουμε τα και .

Παρατηρούμε πως το είναι το παράκεντρο του ως προς την κορυφή , το είναι το έγκεντρο του και το είναι το είναι το παράκεντρο του (οι σχέσεις παρακέντρου-εγκέντρου μπορεί να αλλάζουν από σχήμα σε σχήμα, αλλά η ουσία μένει ίδια).

Πρακτικά λοιπόν βλέπουμε πως οι και είναι διχοτόμοι στο τρίγωνο . Μπορούμε να θεωρήσουμε το σημείο τομής τους και με angle chasing προκύπτει πως το ανήκει στον κύκλο .

Αν θεωρήσουμε ακόμη το συμμετρικό του ως προς την , βλέπουμε πως αυτό ανήκει στην .

Μπορούμε ακόμη να ισχυριστούμε πως ο κύκλος , στην πραγματικότητα είναι ο κύκλος που διέρχεται από τα ώστε η εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο τόξο να ισούται με (ή την παραπληρωματική της).

Μπορούμε λοιπόν να απλοποιήσουμε το πρόβλημα στο εξής πιο φιλικό και ήμερο (εστιάζοντας στο τρίγωνο ):

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Έστω τρίγωνο (αυτό είναι το ) με περίκεντρο και έστω το συμμετρικό του ως προς την . Έστω ακόμη πως μια τυχαία ευθεία που διέρχεται από το τέμνει τις και στα και αντίστοιχα. Τότε ο κύκλος που είναι ορθογώνιος στον και διέρχεται από τα έχει εγγεγραμμένη γωνία στο τόξο ίση με .

Αν θεωρήσουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του και το σημείο τομής του με την , τότε αφού τα είναι συζυγή σε αντιστροφή κύκλου , ο ορθογώνιος κύκλος που αναφερόμασταν είναι ο . Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι .

Έστω πως η τέμνει τον κύκλο στο . Εύκολα βλέπουμε πως το ανήκει στην . Ακόμη έστω πως η τέμνει τον κύκλο στο .

Βλέπουμε εύκολα πως , άρα αρκεί τα να είναι συνευθειακά.

Αλλάζουμε πάλι λίγο το πρόβλημα σε ισοδύναμο που να μας βολεύει περισσότερο! Θεωρούμε δηλαδή το ως την τομή της με την (με άλλα λόγια την ) και θέλουμε να δείξουμε πως τα είναι συνευθειακά (ώστε ).

Αυτό όμως προκύπτει με Pascal στο .