Πετρούπολη 2022

KARKAR · #1

: Πετρούπολη 22.png (20.4 KiB) Προβλήθηκε 914 φορές

Στην πλευρά

του τριγώνου ABC

δίνονται δυο σημεία

και

τέτοια, ώστε AD=CE

.

Στο τμήμα

δίνεται σημείο

και στο τμήμα

σημείο

, ώστε :

και

.

Οι ημιευθείες

και

, τέμνονται στο σημείο

. Να αποδείξετε, ότι το μέσο

του τμήματος

βρίσκεται πάνω στην ευθεία

. ( Α. Κουζνέτσοβ - Πετρούπολη 2022)

miltosk · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 26, 2022 1:12 pm
Πετρούπολη 22.png Στην πλευρά του τριγώνου δίνονται δυο σημεία και τέτοια, ώστε .

Στο τμήμα δίνεται σημείο και στο τμήμα σημείο , ώστε : και .

Οι ημιευθείες και , τέμνονται στο σημείο . Να αποδείξετε, ότι το μέσο του τμήματος

βρίσκεται πάνω στην ευθεία . ( Α. Κουζνέτσοβ - Πετρούπολη 2022)

Για πάμε. Χρησιμοποιώ το παραπάνω σχήμα.
Με θεώρημα Μενελάου στο ZXB

με τέμνουσα την CAM

λαμβάνω:
$\frac{CX}{CB} \cdot \frac{MB}{MZ} \cdot \frac{EZ}{EX} = 1$ .
Έχουμε CX = EX

. Αρκεί λοιπόν CB=EZ

.
Έχουμε: $DC = AE, \widehat{AEZ} = \widehat{DCB}$ .
Τέλος: $\widehat{BDA} = \widehat{ZAM} \Rightarrow \widehat{EAZ} = \widehat{BDC}$ .
Άρα (ΓΠΓ) BDC, AZE

ίσα τρίγωνα και το ζητούμενο έπεται.

#3

miltosk έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 26, 2022 5:13 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 26, 2022 1:12 pm
Πετρούπολη 22.png Στην πλευρά του τριγώνου δίνονται δυο σημεία και τέτοια, ώστε .

Στο τμήμα δίνεται σημείο και στο τμήμα σημείο , ώστε : και .

Οι ημιευθείες και , τέμνονται στο σημείο . Να αποδείξετε, ότι το μέσο του τμήματος

βρίσκεται πάνω στην ευθεία . ( Α. Κουζνέτσοβ - Πετρούπολη 2022)
Για πάμε. Χρησιμοποιώ το παραπάνω σχήμα.
Με θεώρημα Μενελάου στο με τέμνουσα την λαμβάνω:
$\frac{CX}{CB} \cdot \frac{MB}{MZ} \cdot \frac{EZ}{EX} = 1$ .
Έχουμε . Αρκεί λοιπόν .
Έχουμε: $DC = AE, \widehat{AEZ} = \widehat{DCB}$ .
Τέλος: $\widehat{BDA} = \widehat{ZAM} \Rightarrow \widehat{EAZ} = \widehat{BDC}$ .
Άρα (ΓΠΓ) ίσα τρίγωνα και το ζητούμενο έπεται.

Πετρούπολη 2022

Πετρούπολη 2022

Re: Πετρούπολη 2022

Re: Πετρούπολη 2022

Μέλη σε σύνδεση