Συνευθειακότητα τομών και συμμετρικό

#1

: Συνευθειακότητα τομών και συμμετρικό.png (36.91 KiB) Προβλήθηκε 1387 φορές

Έστω τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με $AB\ne AC$ και ας είναι το σημείο τομής της ευθείας της διχοτόμου του με τον περίκυκλο $\left( O \right)$ του τριγώνου , με $E\ne A$ . Αν είναι το σημείο τομής των εφαπτομένων του $\left( O \right)$ στα και $D\equiv AF\cap \left( O \right),D\ne A$ να δειχτεί ότι:

i) Τα σημεία $S\equiv AF\cap BC,T\equiv BE\cap CD,N\equiv AE\cap CF$ είναι συνευθειακά

ii) Η ευθεία διέρχεται από το συμμετρικό του ως προς το

Κυριάκος Τσουρέκας · #2

Για το i) Εφαρμόζουμε θεώρημα Pascal στο εξάγωνο EADCCB

το οποίο μας δίνει την ζητούμενη συνευθειακότητα.

#3

Κυριάκος Τσουρέκας έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 25, 2022 8:32 pm
Για το i) Εφαρμόζουμε θεώρημα Pascal στο εξάγωνο το οποίο μας δίνει την ζητούμενη συνευθειακότητα.

Μπράβο Κυριάκο

το δεύτερο είναι ακόμα πιο εύκολο όπως και η συνευθειακότητα των T,F,I'

που "λείπει" από το πρόβλημα

Κυριάκος Τσουρέκας · #4

Καλημέρα,
Για το ii) Παρατηρούμε ότι το AEDC

είναι αρμονικό επομένως η δέσμη (EA, EC, EI', EF)

είναι αρμονική και επειδή EF//BC

έχουμε τελικά ότι CI=CI'

.

Henri van Aubel · #5

Καλησπέρα Κυριάκο και μπράβο για την όμορφη λύση σου!!

Λίγο πιο αναλυτικά για την παραλληλία.

Έχουμε

$\displaystyle \measuredangle FED^{\chi o\varrho \delta \eta -\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta }=\measuredangle EAD$

$\displaystyle \measuredangle BED=180^\circ-\measuredangle BAD=180^\circ-\measuredangle EAC-\measuredangle EAD$

Οπότε

$\displaystyle \measuredangle BEF=\measuredangle FED+\measuredangle BED=180^\circ-\measuredangle EAC=180^\circ-\measuredangle EBC$

Έτσι, η παραλληλία αποδείχθηκε.

Συνευθειακότητα τομών και συμμετρικό

Συνευθειακότητα τομών και συμμετρικό

Re: Συνευθειακότητα τομών και συμμετρικό

Re: Συνευθειακότητα τομών και συμμετρικό

Re: Συνευθειακότητα τομών και συμμετρικό

Re: Συνευθειακότητα τομών και συμμετρικό

Μέλη σε σύνδεση