Ακρότατα εμβαδού

#1

: Ακρότατα εμβαδού.png (14.91 KiB) Προβλήθηκε 704 φορές

Δίνεται κύκλος (O, R)

κι ένα σταθερό σημείο

στο εσωτερικό του, ώστε KO=d.

Από το

φέρνω δύο κάθετες

χορδές AC, BD.

Να βρείτε (με πλήρη τεκμηρίωση) το μέγιστο και το ελάχιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου ABCD.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 28, 2022 11:53 am
Ακρότατα εμβαδού.png
Δίνεται κύκλος κι ένα σταθερό σημείο στο εσωτερικό του, ώστε Από το φέρνω δύο κάθετες

χορδές Να βρείτε (με πλήρη τεκμηρίωση) το μέγιστο και το ελάχιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου

Είναι γνωστό ότι το εμβαδόν τετραπλεύρου (κυρτού ή μη κυρτού) με κάθετες διαγώνιες ισούται με το ημιγινόμενό τους, δηλαδή $\left( ABCD \right)=\dfrac{1}{2}AC\cdot BD:\left( 1 \right)$
Αν F,E

είναι τα αντιδιαμετρικά των B,C

αντίστοιχα και OM,ON

τα αποστήματα στις χορδές (διαγώνιες του κύκλου) τότε προφανώς (από τα μέσα των τριγώνων) θα είναι AE=2OM,DF=2ON

και από το «ορθογώνιο» OMKN

θα είναι $O{{M}^{2}}+O{{N}^{2}}=O{{K}^{2}}\Rightarrow \ldots A{{E}^{2}}+D{{F}^{2}}=4{{d}^{2}}:\left( 2 \right)$

: ακρότατα εμβαδού.png (65.12 KiB) Προβλήθηκε 646 φορές

Από τα πυθαγόρεια θεωρήματα στα ορθογώνια (εξ’ αιτίας των διαμέτρων) τρίγωνα $\vartriangle CAE,\vartriangle BDF$ θα είναι: $A{{C}^{2}}=4{{R}^{2}}-A{{E}^{2}}$ και $B{{D}^{2}}=4{{R}^{2}}-D{{F}^{2}}$ οπότε θα έχουμε:
${{\left( ABCD \right)}^{2}}=\dfrac{1}{4}A{{C}^{2}}\cdot B{{D}^{2}}=\left( 4{{R}^{2}}-A{{E}^{2}} \right)\left( 4{{R}^{2}}-D{{F}^{2}} \right)$ $=16{{R}^{4}}-4{{R}^{2}}\left( A{{E}^{2}}+D{{F}^{2}} \right)+A{{E}^{2}}\cdot D{{F}^{2}}$ $\overset{\left( 2 \right)}{\mathop{=}}\,16{{R}^{4}}-16{{R}^{2}}{{d}^{2}}+A{{E}^{2}}\cdot D{{F}^{2}}$

Προφανώς

${{\left( ABCD \right)}^{2}}\ge 16{{R}^{4}}-16{{R}^{2}}{{d}^{2}}$ με ελάχιστο το $\min \left( ABCD \right)=4R\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}$ όταν AE=0

ή

(δηλαδή όταν η μία διαγώνιος ταυτιστεί με την διάμετρος του κύκλου (γίνει δηλαδή χαρταετός) και επειδή το άθροισμα $A{{E}^{2}}+D{{F}^{2}}=4{{d}^{2}}=ct$ το εμβαδόν θα μεγιστοποιείται όταν το γινόμενό τους γίνει μέγιστο (αφού οι υπόλοιποι όροι της έκφρασης του εμβαδού παραμένουν σταθεροί) όταν γίνουν ίσοι , δηλαδή όταν $A{{E}^{2}}=D{{F}^{2}}=2{{d}^{2}}$ και θα είναι $\max \left( ABCD \right)=4R\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}+2{{d}^{2}}$ (όταν δηλαδή θα γίνει ισοσκελές τραπέζιο αφού θα έχει ίσα αποστήματα άρα ίσες διαγώνιες και θα είναι εγγράψιμο σε κύκλο)

Υ.Σ. Ενώ η διαπραγμάτευση ήταν καλή τα αποτελέσματα είναι αριθμητικά λάθος. Τα σωστά αποτελέσματα είναι Τα τελικά αποτελέσματα είναι $\displaystyle \max (ABCD) = 2{R^2} - {d^2},\min (ABCD) = 2R\sqrt {{R^2} - {d^2}}$ όπως μου τα έστειλε ο Γιώργος (Βισβίκης) που τον ευχαριστώ θερμά (μας "έφυγε" ένα

)

Ακρότατα εμβαδού

Ακρότατα εμβαδού

Re: Ακρότατα εμβαδού

Μέλη σε σύνδεση