Κοντσέρτο για τετράγωνο και τρίκυκλο

#1

: Κοντσέρτο για τετράγωνο και τρίκυκλο.png (17.35 KiB) Προβλήθηκε 678 φορές

Δίνεται τετράγωνο ABCD

πλευράς

και ένα σημείο

της πλευράς BC.

Γράφω τον κύκλο (K, R)

που

εφάπτεται στις AM, MC, CD

και τον εγγεγραμμένο κύκλο (L, r)

του τριγώνου ABM

που εφάπτεται και

του κύκλου (K)

στο σημείο

της

I) Να δείξετε ότι $\displaystyle r = a{r_0},$ όπου r_0

είναι ρίζα της εξίσωσης 4x^3-12x^2+8x-1=0

και να υπολογίσετε

συναρτήσει του r_0

τον λόγο $\dfrac{CM}{MB}.$

II) Ένας τρίτος κύκλος ακτίνας $\displaystyle \rho$ εφάπτεται στους δύο άλλους κύκλους και στην BC.

Να δείξετε ότι $\displaystyle \rho = \frac{{S{M^2}}}{a}.$

KARKAR · #2

: τετράγωνο Βισβίκη.png (19.03 KiB) Προβλήθηκε 591 φορές

α) Από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τραπέζιο KK'L'L

, προκύπτει η εξίσωση :

(R+r)^2=(a-(R+r)^2+(R-r)^2

ενώ το γεγονός ότι : $AS \perp KL$ , παράγει την : AK^2-AL^2=R^2-r^2

,

$( AK=a\sqrt{2}-R\sqrt{2}$ , AL^2=(a-r)^2+r^2

.

Κάνοντας πράξεις καταλήγω στις : a^2-4aR+2ar+R^2-r^2=0

και :

.

Λύνοντας και τις δύο ως προς

, θα βρούμε : $R=2a-\sqrt{3a^2-2ar+r^2}$

και $R=a+r-2\sqrt{ar}$ . Θέτοντας : $r=xa , 0<x<\dfrac{1}{2}$

καταλήγουμε στην : $1-\sqrt{x^2-2x+3}=x-2\sqrt{x}$ ( υπόρριζα θετικά ),

η οποία γράφεται : $2\sqrt{x}-\sqrt{x^2-2x+3}=x-1$ και καταλήγει στην :

4x^3-12x^2+8x-1=0

, με δεκτή ρίζα την : $x_{0}\simeq 0,16243$

( οι άλλες δύο είναι οι : $x\simeq0,73041$ και $x=\simeq 2,1072$ οι οποίες απορρίπτονται ) .

Το

είναι το μέσο του K'L'

, έτσι ζητούμενος λόγος γράφεται : $\dfrac{a+R-r}{a+r-R}$

και με αντικατάσταση από παραπάνω , έχουμε τελικά : $\dfrac{CM}{MB}=\dfrac{1}{\sqrt{x_{0}}}-1$

KARKAR · #3

: Τμήμα τετραγώνου.png (12.63 KiB) Προβλήθηκε 508 φορές

Για το β) χρησιμοποιώ ένα θραύσμα του τετραγώνου . Είναι $K'L'=a-(R+r)=2\sqrt{Rr}$ ,

οπότε : $SM=\dfrac{K'L'}{2}=\sqrt{Rr}$ και : $a=(\sqrt{R}+\sqrt{r})^2$ , δηλαδή :

$\dfrac{SM^2}{a}=\dfrac{Rr}{(\sqrt{R}+\sqrt{r})^2} =\rho$ . Απλή απόδειξη της τελευταίας δείτε εδώ .

Κοντσέρτο για τετράγωνο και τρίκυκλο

Κοντσέρτο για τετράγωνο και τρίκυκλο

Re: Κοντσέρτο για τετράγωνο και τρίκυκλο

Re: Κοντσέρτο για τετράγωνο και τρίκυκλο

Μέλη σε σύνδεση