Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 16.

[vittasko]

Δίνεται κύκλος χορδής και έστω η διάμετρός του, μεσοκάθετη του και ας είναι , όπου . Έστω , τυχόν σημείο του ελάσσονος τόξου και , τυχόν σημείο μεταξύ των . Έστω , η προβολή του επί της και , το σημείο τομής του περικύκλου έστω του , από την ευθεία . Αποδείξτε ότι η ευθεία , όπου είναι το μέσον του , περνάει από το σημείο .

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Η πρόταση αυτή είναι δάνειο ( σε διασκευή ) από το διαδίκτυο και δεν έχω υπόψη μου κάποια λύση.

Μεταβλητή ευθεία δια μεταβλητού μέσου.

f 181_t 66674.PNG (25.76 KiB) Προβλήθηκε 2252 φορές

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Μια στα γρήγορα:

Μεταφράζω το πρόβλημα στο εξής ισοδύναμο (νομίζω ότι "οπτικά" βολεύει):

Έστω δύο τεμνόμενοι κύκλοι και (ας θεωρήσουμε ότι το κέντρο του ενός δεν βρίσκεται μέσα στον άλλο κύκλο). Το ευθύγραμμο τμήμα της διακέντρου τους τέμνει αντίστοιχα στα και , ενώ τέμνει και την κοινή χορδή τους στο . Έστω ένα σημείο ώστε . Η τέμνει τον ξανά στο και η τέμνει τον ξανά στο . Να αποδειχθεί ότι η διέρχεται από το μέσο του .

__________________________________________________________________________________________________________________________

Πρακτικά θέλουμε να δείξουμε ότι οι γωνίες που σχηματίζει η με την είναι αυτές του ορθογωνίου τριγώνου . Οπότε αρκεί να δείξουμε ότι:

.

Από νόμους ημιτόνων στα και παίρνουμε ότι .

Οπότε θα δείξουμε ότι .

Θεωρούμε τώρα τα δεύτερα σημεία τομής της διακέντρου με τους και αντίστοιχα.

Λόγω του ότι οι και είναι διάμετροι, έχουμε ότι , άρα και .

Εύκολα τώρα από Θαλή έχουμε ότι: και , οπότε

Αρκεί λοιπόν τελικά να δείξουμε ότι ή ισοδύναμα , που ισχύει αφού το βρίσκεται στο ριζικό άξονα των κύκλων.

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

Δίνεται κύκλος χορδής και έστω η διάμετρός του, μεσοκάθετη του και ας είναι , όπου . Έστω , τυχόν σημείο του ελάσσονος τόξου και , τυχόν σημείο μεταξύ των . Έστω , η προβολή του επί της και , το σημείο τομής του περικύκλου έστω του , από την ευθεία . Αποδείξτε ότι η ευθεία , όπου είναι το μέσον του , περνάει από το σημείο .

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Δεν έχω υπόψη μου κάποια λύση γι' αυτό το πρόβλημα.
f 181_t 66674.PNG

Καλησπέρα

293.PNG (49.56 KiB) Προβλήθηκε 2207 φορές

Έστω .
Είναι άρα εγγράψιμο.Άρα το θα είναι ριζικό κέντρο των κύκλων δηλαδή συνευθειακά.
Επίσης είναι
δηλαδή εγγράψιμο .Αφού
θα είναι και το ζητούμενο έπεται εύκολα.

[min##]

Γεια σας κύριε Βήττα.
Μας λείψατε
Ελπίζω να'στε μια χαρά.
Μια λύση ακόμη:
Έστω .
Κινούμε το στον κύκλο του με σταθερή γωνιακή ταχύτητα .

Παρατηρούμε ότι και το κινείται στον κύκλο του με την ίδια ταχύτητα (χορδής και εφαπτομένης στο ),όπως και το με το (χορδής και εφαπτομένης στο .
Συνεπώς,τα έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα.
Μπορούμε να δείξουμε ότι και το μέσο της θα έχει γ.τ.(γωνιακή ταχύτητα ) ως γραμμικός συνδυασμός των .Αυτό μπορούμε να το δούμε είτε με στροφές στο μιγαδικό επίπεδο,είτε με σπειροειδή ομοιότητα είτε....
Έτσι το κινείται σε κύκλο .

Έστω ότι ο τέμνει την διάκεντρο στα (το από κάτω μεριά).Λόγω συμμετρίας,η είναι διάμετρος.Όταν το περνάει από το ,τα περνούν από τα και όταν το περνάει από το ,τα περνούν από τα .
Λόγω ίσων γωνιακών ταχυτήτων,σε κάθε θέση θα ισχύει ,δηλαδή ότι τα είναι ομοιόθετα.

Άρα η τομή των είναι σταθερό σημείο (το κέντρο ομοιθεσίας).Αρκεί να δείξουμε ότι ταυτίζεται με το .
Αυτό δεν είναι δύσκολο:

Εξ'ορισμού, μέσο του και μέσο του .
Είναι απλό από αντιστροφή πως οι κοινές εσωτερικές εφαπτόμενες των περνούν από το .Έτσι υπάρχει ομοιοθεσία που στέλνει το στο και το στο .
Η ίδια ομοιοθεσία θα στέλνει το μέσο του στο μέσο του ,δηλαδή το στο ,δηλαδή ο θα εφάπτεται στις κοινές εφαπτόμενες.Από το τελευταίο έπεται πως το είναι το εσωτερικό κέντρο ομοιοθεσίας των κλπ.

[vittasko]

Σας ευχαριστώ πολύ για τις άμεσες απαντήσεις σας. Μου δώσατε μεγάλη χαρά και σας είμαι ευγνώμων γιατί περνάω το στάδιο της καραντίνας λόγω κορωνοϊού, με το πρόσθετο φορτίο της ανάρρωσης από ορθοπεδικό ατύχημα πριν τέσσερις εβδομάδες.

Δύσκολη περίοδος για μαστορέματα ( εξορκισμός στην καραντίνα ), όταν έχεις μπανταρισμένο το δεξί σου χέρι ( και δεν είσαι αριστερόχειρας ).

Ευτυχώς γλίτωσα από τα χειρότερα ( αποφυγή χειρουργείου ) αλλά χρειάζεται χρόνος. Κάθε μέρα όμως που περνάει, όλο πάει και καλύτερα η επιστροφή στην κανονικότητα.

Ετοιμάζω μία μικρή εργασία με δέκα προτάσεις σχετικές με μεταβλητές ευθείες δια σταθερών σημείων και ήταν η μόνη ορφανή ( χωρίς δική μου απόδειξη ). Σε ένδειξη τιμής όμως, θα συμπεριλάβω μόνο τις δικές σας αποδείξεις για την πρόταση αυτή, έστω και αν τύχει να σκαρφιστώ μία διαφορετική ο ίδιος.

Να είστε καλά, Κώστας Βήττας.

[vittasko]

Ας δούμε μία εναλλακτική γραφή της απόδειξης του Πρόδρομου πιο πάνω. Χρησιμοποιώ το σχήμα του.

Από έχουμε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο έστω .

Προκύπτει έτσι, ως το ριζικό κέντρο των κύκλων .

Από τα εγγράψιμα τετράπλευρα τώρα, έχουμε

Από στο ορθογώνιο τρίγωνο , συμπεραίνεται ότι η ευθεία περνάει από το μέσον του και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Πρόδρομε, αυτή η απόδειξη μου ξέφυγε και σου ανήκει στο ακέραιο. Αξίζει να πούμε ότι βασισμένοι στην άσκηση που συζητάμε εδώ ως Λήμμα, αποδεικνύεται ως άμεση εφαρμογή η άσκηση 4688 στην ομάδα "Ρομαντικοί της Γεωμετρίας" του facebook (*), οφειλόμενη στον Γ. ΤΣΙΝΤΣΙΦΑ (**), εξαίρετο και διεθνώς γνωστό συμπατριώτη, "Δάσκαλο" για πολλούς της δικής μου γενιάς, που ζει και δημιουργεί στην Θεσσαλονίκη.

(*) https://www.facebook.com/groups/parmeni ... 481599373/

(**) Ο αναγνώστης μπορεί να δει στην ιστοσελίδα του, την τριγωνομετρική απόδειξη που δίνει ο ίδιος.

https://gtsintsifas.com/2020/03/euclide ... -geometry/