Από σταθερό σημείο 27

KARKAR · #1

: Από σταθερό σημείο 27.png (31.33 KiB) Προβλήθηκε 1704 φορές

Σε σημείο

της ακτίνας

κύκλου

, με

, φέρουμε την κάθετη χορδή

.

Οι κάθετες από το

προς τις

δημιουργούν στον κύκλο το πορτοκαλί έλασσον τόξο ,

επί του οποίου κινείται σημείο

, με τις

, να τέμνουν τις δύο κάθετες στα N , L

.

Δείξτε ότι το τμήμα

διέρχεται από σταθερό σημείο

και υπολογίστε το τμήμα

.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Έστω:
$\hat{P}=\angle NPL \Rightarrow \angle CPA=\angle DPA=\dfrac{\hat{P}}{2}$
$\hat{N}=\angle ANP$
$\hat{L}=\angle ALP$
$\hat{A}=\angle NAL$

$\varphi=\angle PAO$
Θα ορίσουμε ως

το σημείο τομής του

με την

Χρησιμοποιούμε το γνωστό αποτέλεσμα
$\dfrac{2\cos\frac{\hat{A}}{2}}{AS}=\dfrac{1}{AN}+\dfrac{1}{AL}$

$\Rightarrow \dfrac{2\sin\frac{\hat{P}}{2}\cdot \cos\frac{\hat{A}}{2}}{AS}=\dfrac{\sin\frac{\hat{P}}{2}}{AN}+\dfrac{\sin\frac{\hat{P}}{2}}{AL} = (*)$

Από το νόμο των ημιτόνων στα τρίγωνα $\triangle ANP$ , $\triangle ALP$ έχουμε
$(*)=\dfrac{\sin\hat{N}}{AP}+\dfrac{\sin\hat{L}}{AP}$
$=\dfrac{\sin(\frac{\hat{P}}{2}+\frac{\hat{A}}{2}-\varphi)}{AP}+\dfrac{\sin(\frac{\hat{P}}{2}+\frac{\hat{A}}{2}+\varphi)}{AP}$
$= \dfrac{2\sin(\frac{ \hat{P}+\hat{A}}{2})\cos\varphi}{AP}$
$= \dfrac{2\sin(\frac{ \pi}{4}+\frac{\hat{A}}{4})}{\frac{AP}{\cos\varphi}}=\dfrac{\sin(\frac{ \pi}{4}+\frac{\hat{A}}{4})}{AO}$
$\Rightarrow AS=\dfrac{2r\cdot \cos\frac{\hat{A}}{2}\cdot\sin(\frac{ \pi}{4}-\frac{\hat{A}}{4})}{\sin(\frac{ \pi}{4}+\frac{\hat{A}}{4})}$ (**)

Αυτό σημαίνει ότι το μήκος του

είναι ανεξάρτητο της θέσης του

,
οπότε το αυτό θα ισχύει για τη θέση του

, το οποίο θα είναι το ζητούμενο σημείο
από το οποίο διέρχεται το

Στο δεύτερο μέλος της (**)

παρατηρούμε ότι για $\hat{A}\in(0,2\pi)$
ο παρανομαστής είναι γνησίως αύξουσα και οι παράγοντες του αριθμητή γνησίως φθίνουσες θετικές συναρτήσεις του $\hat{A}$
οπότε

γνησίως φθίνουσα συνάρτηση του $\hat{A}$

Για $\hat{A}=\dfrac{\pi}{3}$ είναι AS=r

και

ενώ
$OS=r\cdot\left|\dfrac{2\cdot \cos\frac{\hat{A}}{2}\cdot\sin(\frac{ \pi}{4}-\frac{\hat{A}}{4})}{\sin(\frac{ \pi}{4}+\frac{\hat{A}}{4})}-1\right|$ $\blacksquare$

Από σταθερό σημείο 27

Από σταθερό σημείο 27

Re: Από σταθερό σημείο 27

Μέλη σε σύνδεση