Σύντομη πρόταση ζητά λύσεις

∫ot.T. · #1

Για το παραλληλόγραμμο ABCD

ισχύει

. Οι κύκλοι $c_{1}\left( A,AB \right), c_{2}\left( C,BC \right)$ τέμνονται για δεύτερη φορά στο

. Η ευθεία

τέμνει την

στο

και ο περιγεγραμμένος κύκλος του KEB

τέμνει την

στο

. Να αποδειχθεί ότι το

είναι το έγκεντρο του BCE

.

#2

∫ot.T. έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 19, 2025 4:42 pm
Για το παραλληλόγραμμο ισχύει . Οι κύκλοι $c_{1}\left( A,AB \right), c_{2}\left( C,BC \right)$ τέμνονται για δεύτερη φορά στο . Η ευθεία τέμνει την στο και ο περιγεγραμμένος κύκλος του τέμνει την στο . Να αποδειχθεί ότι το είναι το έγκεντρο του .

Υποθέτω ότι η η ισότητα της εκφώνησης δεν χρειάζεται. Αν κάνω λάθος η παρακάτω λύση είναι άκυρη.

Η διάκεντρος

των κύκλων (A), (C)

είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής KB,

άρα

από

όπου προκύπτει ότι η

είναι διχοτόμος της γωνίας $E\widehat CB.$ Θα δείξω ότι και η

είναι διχοτόμος της $E\widehat BC.$

: Σύντομη πρόταση.png (31.51 KiB) Προβλήθηκε 1552 φορές

Έστω

το κέντρο του κύκλου (K, E, B).

Τα σημεία

είναι συνευθειακά, αφού και οι τρεις κύκλοι έχουν κοινή χορδή.

Έστω ακόμα

το σημείο τομής αυτού του κύκλου με την BC.

Είναι, $\displaystyle CE \cdot CK = CF \cdot CB \Leftrightarrow EK = BF$

Άρα, $\displaystyle K\widehat LE = F\widehat LB,E\widehat LI = I\widehat LF \Rightarrow EI = IF,$ οπότε η

είναι διχοτόμος της $E\widehat BC.$ και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

∫ot.T. · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 20, 2025 9:41 am
Υποθέτω ότι η η ισότητα της εκφώνησης πρέπει να είναι Αν κάνω λάθος η παρακάτω λύση είναι άκυρη.

Έχετε δίκιο, δεν το παρατήρησα.

#4

∫ot.T. έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 20, 2025 9:52 am

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 20, 2025 9:41 am
Υποθέτω ότι η η ισότητα της εκφώνησης πρέπει να είναι Αν κάνω λάθος η παρακάτω λύση είναι άκυρη.

Έχετε δίκιο, δεν το παρατήρησα.

Τελικά, νομίζω ότι ισχύει σε κάθε παραλληλόγραμμο. Η ισότητα δεν χρειάζεται.

Σύντομη πρόταση ζητά λύσεις

Σύντομη πρόταση ζητά λύσεις

Re: Σύντομη πρόταση ζητά λύσεις

Re: Σύντομη πρόταση ζητά λύσεις

Re: Σύντομη πρόταση ζητά λύσεις

Μέλη σε σύνδεση