Ο περίεργος φυσικός

Al.Koutsouridis · #1

Δίνεται ένας θετικός ακέραιος

, μεγαλύτερος του 100

. Στον πίνακα γράφτηκαν όλοι οι θετικοί ακέραιοι της μορφής $\dfrac{a-n^2}{4}$ , όπου

θετικός ακέραιος. Προέκυψε, ότι για $n \leq \sqrt{\dfrac{a}{5}}$ όλοι τους είναι πρώτοι. Να αποδείξετε, ότι και όλοι οι υπόλοιποι θετικοί ακέραιοι αριθμοί γραμμένοι στον πίνακα είναι πρώτοι ή ίση με την μονάδα.

Μπορείτε να βρείτε έναν τέτοιον

;

(Και για Αρχιμίδη Μικρών, JBMO)

Πηγή: Ολυμπιάδα Euler, 2017.

#2

Ένα παράδειγμα είναι ο a = 173

. Οι

, όπου

θετικός ακέραιος, είναι θετικοί ακέραιοι για n=1,3,5,7,9,11,13

και είναι οι 43,41,37,31,23,13,1

που είναι όλοι πρώτοι ή ίσοι με τη μονάδα.

Παρατηρούμε ότι $\sqrt{a/5} > \sqrt{20} > 4$ .

Αν a = 4k

τότε για

παίρνουμε τους αριθμούς k-1

και

. Τουλάχιστον ο ένας είναι άρτιος. Επίσης $a > 100 \implies k >25 \implies k-1,k-4 > 2$ . Άρα δεν μπορεί να είναι και οι δύο πρώτοι και δεν έχουμε κάτι να αποδείξουμε.

Αν a = 4k+2

τότε $a-n^2 \equiv 1,2 \bmod 4$ , οπότε κανένας από τους (a-n^2)/4

δεν είναι ακέραιος και δεν έχουμε κάτι να δείξουμε. Ομοίως και αν a = 4k+3

.

Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι a = 4k+1

και ότι $\frac{(4k+1)-n^2}{4}$ είναι πρώτος για κάθε ακέραιο $n < \sqrt{a/5}$ για τον οποίο ο $\frac{(4k+1)-n^2}{4}$ είναι θετικός ακέραιος. Ας υποθέσουμε επίσης προς άτοπο ότι υπάρχει $n > \sqrt{a/5}$ για τον οποίο ο $x = \frac{(4k+1)-n^2}{4}$ είναι θετικός ακέραιος αλλά σύνθετος. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο

είναι ελάχιστος για τον οποίο ισχύει αυτή η ιδιότητα.

Έστω

ο μικρότερος πρώτος που διαιρεί τον

. Αφού

σύνθετος, τότε
$\displaystyle p^2 \leqslant x = \frac{a-n^2}{4} < \frac{5n^2-n^2}{4} = n^2$
Ορίζουμε τώρα m = |n-2p|

και παρατηρούμε ότι 0 < m < n

. Πράγματι αφού ο

είναι περιττός και ο (a-n^2)/4

ακέραιος, τότε ο

είναι επίσης περιττός, άρα $|n-2p| \neq 0$ . Επίσης, αν n > 2p

τότε

ενώ αν

τότε

αφού ήδη δείξαμε ότι p < n

.

Ορίζουμε τώρα
$\displaystyle y = \frac{a-m^2}{4} = \frac{a-(2p-n)^2}{4} = \frac{a-n^2-4p^2+4pn}{4} = x + p(n-p)$
ο οπόιος είναι ακέραιος πολλαπλάσιος του

και άρα και αυτός σύνθετος. (Αφού επίσης $y \geqslant p^2 + p(n-p) > p$ .

Άρα βρήκαμε 0 < m < n

για τον οποίο ισχύει ότι ο $y = \frac{(4k+1)-m^2}{4}$ είναι θετικός ακέραιος αλλά σύνθετος. Από τον ορισμό του

πρέπει $m \leqslant \sqrt{a/5}$ , αλλά αυτό είναι άτοπο αφού τότε ο

είναι πρώτος ή ίσος με

.

Ο περίεργος φυσικός

Ο περίεργος φυσικός

Re: Ο περίεργος φυσικός

Μέλη σε σύνδεση