Ένα ελάχιστο!

#1

Έστω

δύο θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε ο

διαιρεί τον m + 13n

και ο

διαιρεί τον m + 11n

. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του m + n;

JimNt. · #2

Ή απάντηση είναι 143*2=286

Θα επανέρθω αύριο με πλήρη απάντηση.
Είναι Λάθος δείτε πιο κάτω την υπόδειξη του κ. Λάμπρου.

#3

Μπορεί και 28, πχ για m=23,n=5...

#4

JimNt. έγραψε:Ή απάντηση είναι Θα επανέρθω αύριο με πλήρη απάντηση.

Αν

και

, τότε οι συνθήκες ισχύουν και m+n<286

,

Φιλικά,

Αχιλλέας

JimNt. · #5

Ναι έχετε δίκιο . Διάβασα την εκφώνηση λάθος . Το άθροισμα που βρήκα είναι το ελάχιστο σε περίπτωση που 13|m+13n

και

.

#6

JimNt. έγραψε:Ναι έχετε δίκιο . Διάβασα την εκφώνηση λάθος . Το άθροισμα που βρήκα είναι το ελάχιστο σε περίπτωση που και .

Και πάλι δεν μας τα λες καλά.

Αν διάβασες την εκφώνηση όπως λες, τότε η μεν 13|m+13n

δίνει

, και η

δίνει

. Με άλλα λόγια 13|m

και

, δηλαδή το μικρότερο δυνατό

είναι το $11\cdot 13 = 143$ και άρα το μικρότερο δυνατό m+n

είναι το

.

Για ξαναδές το λοιπόν.

Ιστοσελίδα · #7

Εγώ γιατί το βγάζω

; Δεν κατάλαβα κάτι καλά;
ΝΑΙ δεν κατάλαβα καλά είναι λάθος: διάβαζα $m+13n , \ n + 11m$ . Ευχαριστώ κ.Λάμπρου για την επισήμανση.

Ιωάννης Αλωνιστιωτης · #8

Ως νέο μέλος του mathematica

σας χαιρετώ αρχικά!! Έπειτα μετά από κάποιο ψάξιμο πάνω στο πρόβλημα κατέληξα ότι το ελάχιστο άθροισμα είναι το 28. Αν είναι θα παραθέσω αργότερα τη σκέψη μου.

Ιωάννης Αλωνιστιωτης · #9

Καλησπέρα

,

παραθέτω τη προσπάθειά μου για επίλυση της άσκησης και αναμένω βελτιώσεις,
'Εχουμε: $11\left | m +13n$ και $13\left | m+11n$ οπότε γράφω, m+13n=11k(1) , m+11n=13w(2)

από αυτές τις σχέσεις : m=11k-13n

και

συνεπώς

και $11k-13n=13w-11n\Leftrightarrow 11k-13w=2n\Leftrightarrow 11(k-w)-2w=2n$ , άρα $k-w\equiv 0 (mod2)$ . Επίσης, $2m=11k-13n+13w-11n=11k+13w-24n\Leftrightarrow 2m=11(k+w)+2w-24n$ , όμως ισχύει k+w=(k-w)+2w

άρα $2m=11[(k-w)+2w]+2w-24n\Leftrightarrow 2m=11(k-w)+24w-24n$
Επομένως, παρατηρούμε ότι αφού επιθυμούμε το ελάχιστο άθροισμα , η μείωση της τιμής του παράγοντα (k-w)

ελαττώνει και την τιμή του

. Άρα, αφού k>w

και είναι πολλαπλάσιο του 2, ισχύει $(k-w)_{min}=2$ . Επομένως, $(1)-(2)\rightarrow 11(k-w)-2w=2n\Leftrightarrow 22=2(w+n)\Leftrightarrow w+n=11$ και k+n=13

. Έπειτα, $m>0\Leftrightarrow 13w-11n>0\Leftrightarrow 13w>11n\Leftrightarrow 13w+13n>24n\Leftrightarrow 13*11>24n\Rightarrow n<6$
Άρα, έχουμε πιθανές τιμές n=(1,2,3,4,5)

οπότε

Από τα οποία εύκολα βλέπουμε ότι το ελάχιστο άθροισμα είναι για n=5

και

το

Ευχαριστώ πολύ,
Ιωάννης

(έγινε προσπάθεια αντιμετώπισης του προβληματικού σημείου στη προηγούμενη λύση. Ευχαριστώ τον κ.Λάμπρου για την υπόδειξη , ελπίζω η λύση να μην "μπάζει" ξανά και θα κοιτάξω να βρω μια αρτιότερη αντιμετώπιση)

#10

Ιωάννης Αλωνιστιωτης έγραψε: από αυτές τις σχέσεις :
και επειδή 11 και 13 πρώτοι έχουμε

και

Για ξαναδές το αυτό. Π.χ. γιατί να μην είναι w+n=22

και

Ευτυχώς η απόδειξη μπορεί να διορθωθεί.

Σταμ. Γλάρος · #11

Χαίρετε.
Μια προσπάθεια και από εμένα...
Ισχύουν:
11|m+13n

$\Leftrightarrow$ m+13n =11k

$\Leftrightarrow$ m+n+12n =11k .

(1)

$\Leftrightarrow$ m+11n =13p

$\Leftrightarrow$ m+n+10n =13p .

(2)

Αφαιρώντας κατά μέλη τις (1) και (2) έχουμε : 2n=11k-13p.

(3)
Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι 11k>13p

, δηλαδή

καθώς επίσης k,p:

άρτιοι ή

περιττοί.
Επομένως ισχύει $k\geqslant p+2.$

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) έχουμε : 2(m+n)+22n=11k+13p.

(4)

Αντικαθιστώντας την (3) στην (4) προκύπτει:
2(m+n)+11(11k-13p)=11k+13p

$\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ m+n=-55k+78p.

(5)

Τώρα για $k\geqslant p+2 \Rightarrow -55k\leq -55p-110\Leftrightarrow -55k+78p\leq -55p-110+78p$ \displaystyle{\Leftrightarrow

\Leftrightarrow} $m+n\leq 23p-110.$
Από την τελευταία προκύπτει : $23p-110\geqslant 0$ \displaystyle{\Leftrightarrow} $p\geqslant \dfrac{110}{23}.$
Επομένως επειδή αναζητούμε την ελάχιστη τιμή του m+n

,εξετάζουμε τις περιπτώσεις:
i) p=5

οπότε $k\geqslant 7$ και

περιττός.
Άρα από την (3) έχουμε $2n\geq 11\cdot 7-13\cdot5\Leftrightarrow n\geqslant 6.$
Ομως από την (4) προκύπτει m=13p-11n=65-11n<0,

άρα απορρίπτεται.
ii) p=6

οπότε $k\geqslant 8$ και

άρτιος.
Άρα από την (3) έχουμε $2n\geq 11\cdot 8-13\cdot 6\Leftrightarrow n\geqslant 5.$
Τώρα από την (2) προκύπτει m=23

και

Επίσης από την (2) προκύπτει $m+11n=13\cdot 6=78\Leftrightarrow m=78-11n.$
Άρα $78-11n>0\Leftrightarrow n\leqslant 7.$
Για n=6

προκύπτει

, τιμές οι οποίες δεν επαληθεύουν τις αρχικές συνθήκες.
Συνεπώς η ελάχιστη τιμή για το m+n

είναι το

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

#12

Παρατηρούμε ότι 11|(m+24n)

και

οπότε

. Άρα υπάρχει $k \geqslant 1$ ώστε m+24n = 143k

. Οπότε είναι

$\displaystyle{ m+n = \frac{143k + 23m}{24}}$

Πρέπει 24|(143k + 23m)

από το οποίο παίρνουμε $m+k \equiv 0 \bmod 24$ . Άρα έχουμε και $m+k \geqslant 24$ .

Τελικά παίρνουμε

$\displaystyle{ m+n = \frac{143k + 23m}{24} = \frac{23(k+m)}{24} + 5k \geqslant 23 + 5 = 28.}$

Μπορούμε να έχουμε m+n=28

αν (

το οποίο δίνει) m=23,n=5

οπότε αυτό είναι και το ελάχιστο.

Σταμ. Γλάρος · #13

Demetres έγραψε:Παρατηρούμε ότι και οπότε . Άρα υπάρχει $k \geqslant 1$ ώστε . Οπότε είναι

$\displaystyle{ m+n = \frac{143k + 23m}{24}}$

Πρέπει από το οποίο παίρνουμε $m+k \equiv 0 \bmod 24$ . Άρα έχουμε και $m+k \geqslant 24$ .

Τελικά παίρνουμε

$\displaystyle{ m+n = \frac{143k + 23m}{24} = \frac{23(k+m)}{24} + 5k \geqslant 23 + 5 = 28.}$

Μπορούμε να έχουμε αν ( το οποίο δίνει) οπότε αυτό είναι και το ελάχιστο.

Φοβερή λύση Δημήτρη!
Αλήθεια, πώς σκέφτηκες αυτό;

Demetres έγραψε:Παρατηρούμε ότι και οπότε . Άρα υπάρχει $k \geqslant 1$ ώστε .

Υποκλίνομαι...
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

#14

Σταμάτη, το κομμάτι όπου κατέληξα στο 143|(m+24n)

ήταν το κλειδί. Επειδή μάλιστα τα 11,13

είναι πρώτοι μεταξύ τους ήταν σίγουρο ότι μπορώ να καταλήξω σε κάτι τέτοιο. [Το ζητούμενο είναι ουσιαστικά για δεδομένους αριθμούς a,b

να βρούμε

ώστε το

ή ισοδύναμα a-b = 13d-11c

. Υπάρχει μάλιστα και διαδικασία που μπορεί κάποιος να το κάνει. Χρησιμοποιεί τον Ευκλείδιο αλγόριθμο στους αριθμούς 11,13

και μετά τον «τρέχει ανάποδα». Σε παραδείγματα όμως με μικρούς αριθμούς μπορούμε συχνά να δούμε την απάντηση με το μάτι. Εδώ ήταν a = m+13n,b=m+11n

οπότε

και χωρίς καν να τρεξουμε οποιοδήποτε αλγόριθμο βλέπουμε ότι αφού 13-11 = 2

αρκεί να πάρουμε c=d=n

.]

Από κει και πέρα ίσως ήμουν και λίγο τυχερός. Αρχικά δοκίμασα το m+n = 143k - 23n

το οποίο οδηγούσε σε περιπτωσιολογία. Ευτυχώς παίρνοντας το

στο δεξί μέλος δούλευε μια χαρά. Εκεί βοήθησε το γεγονός ότι στο παράδειγμα που έδινε το ελάχιστο είχαμε k=1

. Σε αντίθετη περίπτωση πάλι θα χρειαζόταν περιπτωσιολογία για να αποκλειστούν τα μικρότερα

.

Σταμάτη, το κομμάτι όπου κατέληξα στο 143|(m+24n)

ήταν το κλειδί. Επειδή μάλιστα τα 11,13

είναι πρώτοι μεταξύ τους ήταν σίγουρο ότι μπορώ να καταλήξω σε κάτι τέτοιο. [Το ζητούμενο είναι ουσιαστικά για δεδομένους αριθμούς a,b

να βρούμε

ώστε το

ή ισοδύναμα a-b = 13d-11c

. Υπάρχει μάλιστα και διαδικασία που μπορεί κάποιος να το κάνει. Χρησιμοποιεί τον Ευκλείδιο αλγόριθμο στους αριθμούς 11,13

και μετά τον «τρέχει ανάποδα». Σε παραδείγματα όμως με μικρούς αριθμούς μπορούμε συχνά να δούμε την απάντηση με το μάτι. Εδώ ήταν a = m+13n,b=m+11n

οπότε

και χωρίς καν να τρεξουμε οποιοδήποτε αλγόριθμο βλέπουμε ότι αφού 13-11 = 2

αρκεί να πάρουμε c=d=n

.]

Από κει και πέρα αρχικά δοκίμασα το m+n = 143k - 23n

το οποίο οδηγούσε σε περιπτωσιολογία. Ευτυχώς παίρνοντας το

στο δεξί μέλος δούλευε μια χαρά. Εκεί βοήθησε το γεγονός ότι στο παράδειγμα που έδινε το ελάχιστο είχαμε k=1

. Σε αντίθετη περίπτωση πάλι θα χρειαζόταν περιπτωσιολογία για να αποκλειστούν τα μικρότερα

.

Ένα ελάχιστο!

Ένα ελάχιστο!

Re: Ένα ελάχιστο!

Re: Ένα ελάχιστο!

Re: Ένα ελάχιστο!

Re: Ένα ελάχιστο!

Re: Ένα ελάχιστο!

Re: Ένα ελάχιστο!

Re: Ένα ελάχιστο!

Re: Ένα ελάχιστο!

Re: Ένα ελάχιστο!

Re: Ένα ελάχιστο!

Re: Ένα ελάχιστο!

Re: Ένα ελάχιστο!

Re: Ένα ελάχιστο!

Μέλη σε σύνδεση