Μέγιστη τιμή ακεραίου

Γιάννης Μπόρμπας · #1

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του θετικού ακεραίου

για την οποία ισχύει ότι ο αριθμός:
$\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\lfloor \sqrt{i}\rfloor}$ είναι πρώτος.

#2

Ωραία άσκηση!

Για κάθε $n\in\mathbb{N}$ βρίσκουμε

ώστε $a^2\leq n<(a+1)^2$ .

Τότε n=a^2+r

με $0\leq r < 2a+1$

Είναι

$\begin{aligned} \displaystyle\sum_{i=1}^n\left[\sqrt{i}\right] &=\sum_{i=1}^{a^2-1}\left[\sqrt{i}\right] + \sum_{i=a^2}^{a^2+r}\left[\sqrt{i}\right] =\sum_{i=1}^{a-1}\sum_{k=i^2}^{i^2+2i}\left[\sqrt{i}\right] +(r+1)a \\ &= \sum_{i=1}^{a-1} i(2i+1) + ra + a = \sum_{i=1}^{a-1} 2i^2 + \sum_{i=1}^{a-1} i +ra+a \\ &= 2\dfrac{(a-1)a(2a-1)}{6} + \dfrac{(a-1)a}{2} +ra+a = \dfrac{a(4a^2-3a+5)}{6}+ra\end{aligned}$

Θέλουμε λοιπόν να βρούμε τους μεγαλύτερους αριθμούς a,r

ώστε να υπάρχει πρώτος

με την ιδιότητα $\dfrac{a(4a^2-3a+5)}{6}+ra = p$

Όμως τότε παίρνουμε a(4a^2-3a+5)+6ra=6p

απ' όπου

κι έτσι $a\in\{1,2,3,6,p,2p,3p,6p\}$ (οι περιπτώσεις ο πρώτος

να είναι μικρότερος του 6 εύκολα απορρίπτονται καθώς είτε δεν οδηγούν σε λύση είτε προκύπτουν αριθμοί a,r

μικρότεροι από τους παρακάτω).

Όμως είναι εύκολο να αποκλείσουμε τις περιπτώσεις p,2p,3p,6p

(καταλήγουμε σε δευτεροβάθμια με αρνητική διακρίνουσα).

Για a=6

παίρνουμε

με

. Για

ο αριθμός $131+6\cdot12 = 203$ δεν είναι πρώτος ενώ για r=11

ο αριθμός $131+6\cdot 11=197$ είναι πρώτος.

Συνεπώς η μεγαλύτερη τιμή του

για την οποία ο αριθμός $\displaystyle\sum_{i=1}^n\left[\sqrt{i}\right]$ είναι πρώτος είναι ο $\boxed{n=47}$ .

Αλέξανδρος

Μέγιστη τιμή ακεραίου

Μέγιστη τιμή ακεραίου

Re: Μέγιστη τιμή ακεραίου

Μέλη σε σύνδεση