Είναι δύσκολη (?) η εκθετική

Κω.Κωνσταντινίδης · #1

Χρόνια Πολλά και Χριστός Ανέστη!

Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων x,y

που είναι τέτοια ώστε $3^{x}+2=5^{y}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Δύσκολη!

Για y=1

παίρνουμε

. Για $y\geq 2$ παίρνουμε $\mod{25}$ κι έτσι $3^x \equiv -2 \pmod{25} \ \ (1)$ και λόγω του ότι $ord_{25}{3}=20$ , οι δυνάμεις $3^x \pmod{25}$ επαναλαμβάνονται κάθε

κι έτσι διαιρώντας τον εκθέτη

με το

, βρίσκουμε ότι για να ισχύει η (1)

πρέπει $x\equiv 13\pmod{20}$ , έστω x=20k+13

. Αντικαθιστώντας στην αρχική και παίρνοντας $\mod{11}$ (λόγω του μικρού θεωρήματος του Fermat έχουμε $3^{10}\equiv 1\pmod{11}$ ) παίρνουμε τελικά $5^y\equiv -4\pmod{11} \ \ (2)$ και λόγω του ότι $ord_{11}5=5$ , άρα οι μόνες τιμές για το

που αρκεί να δοκιμάσουμε είναι οι y=0,1,2,3,4

για καμία από τις οποίες δεν ισχύει η (2)

.

Άρα μοναδική λύση η (x,y)=(1,1)

.

Αλέξανδρος

Joaakim · #3

cretanman έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 01, 2019 9:50 pm
Δύσκολη!

Για παίρνουμε . Για $y\geq 2$ παίρνουμε $\mod{25}$ κι έτσι $3^x \equiv -2 \pmod{25} \ \ (1)$ και λόγω του ότι $ord_{25}{3}=20$ , οι δυνάμεις $3^x \pmod{25}$ επαναλαμβάνονται κάθε κι έτσι διαιρώντας τον εκθέτη με το , βρίσκουμε ότι για να ισχύει η πρέπει $x\equiv 13\pmod{20}$ , έστω . Αντικαθιστώντας στην αρχική και παίρνοντας $\mod{11}$ (λόγω του μικρού θεωρήματος του Fermat έχουμε $3^{10}\equiv 1\pmod{11}$ ) παίρνουμε τελικά $5^y\equiv -4\pmod{11} \ \ (2)$ και λόγω του ότι $ord_{11}5=5$ , άρα οι μόνες τιμές για το που αρκεί να δοκιμάσουμε είναι οι για καμία από τις οποίες δεν ισχύει η .

Άρα μοναδική λύση η .

Αλέξανδρος

Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει το σημείο αυτό ?- $ord_{25}{3}=20$

#4

Joaakim έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 08, 2021 9:17 pm

Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει το σημείο αυτό ?- $ord_{25}{3}=20$

Καλημέρα! Εάν n>1

ένας ακέραιος και

ένας ακέραιος πρώτος προς το

, τότε το $ord_n{a}$ ("τάξη του $a \ mod n$ " στα ελληνικά) ορίζεται ως ο ελάχιστος θετικός ακέραιος

ώστε $a^x \equiv 1 \pmod{n}$ .

Άρα το παραπάνω σημαίνει ότι ο ελάχιστος θετικός ακέραιος

ώστε $3^x\equiv 1\pmod{25}$ είναι το

.

Λόγω του θεωρήματος Euler ισχύει ότι $a^{\varphi{(n)}}\equiv 1 \pmod{n}$ , αποδεικνύεται σχετικά εύκολα ότι το $ord_n{a}$ διαιρεί το $\varphi{(n)}$ . Γι'αυτό όταν αναζητούμε την τάξη ενός ακεραίου $a \ mod n$ ψάχνουμε πάντα στους διαιρέτες του $\varphi{(n)}$ . Έτσι, αφού $\varphi{(25)}=20$ άρα η τάξη του $3 \ mod 25$ είναι κάποιος διαιρέτης του

και αφού κανένας εκ των δυνάμεων $3^1, \ 3^2, \ 3^4, \ 3^5, \ 3^{10} \ mod 25$ δεν είναι ίσο με

, συμπεραίνουμε ότι $ord_{25}{3}=20$

Αλέξανδρος

2nisic · #5

Αν $x\geq 2$
Αδύνατη με mod9,7,13

Αν

μοναδική λύση η (x,y,):(1,1)

#6

2nisic έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 10, 2021 4:07 pm
Αν $x\geq 2$
Αδύνατη με

Αν μοναδική λύση η

Θα μπορούσες να βάλεις αναλυτικά τη λύση σου; Η παραπάνω απέχει πάρα πολύ από το να μπορεί να θεωρηθεί ως λύση και σίγουρα δε θα έπαιρνε πάρα ελάχιστες έως καθόλου μονάδες σε επίπεδο διαγωνισμών.

Αλέξανδρος

2nisic · #7

cretanman έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 10, 2021 5:08 pm

2nisic έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 10, 2021 4:07 pm
Αν $x\geq 2$
Αδύνατη με

Αν μοναδική λύση η
Θα μπορούσες να βάλεις αναλυτικά τη λύση σου; Η παραπάνω απέχει πάρα πολύ από το να μπορεί να θεωρηθεί ως λύση και σίγουρα δε θα έπαιρνε πάρα ελάχιστες έως καθόλου μονάδες σε επίπεδο διαγωνισμών.

Αλέξανδρος

Με

έχω: $5^{y}\equiv 2(mod9)\Leftrightarrow y\equiv 5(mod6)$

Με mod7

έχω: $3^{x}\equiv5^{y}-2 \equiv5^{5} -2\equiv3-2 \equiv 1(mod7)\Leftrightarrow x\equiv 0(mod6)\Rightarrow x\equiv 0(mod3)$

Με mod13

έχω:
$3^{x}+2\equiv 1+2\equiv 3(mod13)$
$5^{y}\equiv +-5(mod13)$
Αδύνατη

2nisic · #8

Τρίτη λύση:

Αν $x\geq 3$
Με mod27

έχω : $5^{y}\equiv 2(mod27)\Leftrightarrow y\equiv 11(mod18)$

Με mod7

έχω: $x\equiv 0(mod6)$ (όπως πρίν)

Με mod19

έχω:
$3^{x}\equiv 3^{6},3^{12},3^{18}\equiv 7,11,1(mod19)$

$5^{y}-2\equiv 5^{11}-2\equiv 5^{2}-2\equiv 4(mod19)$
Αδύνατη

Αν $x\leq 2$ έχω μοναδική λύση την x=y=1

2nisic · #9

Τετάρτη λύση:

Αν $y\geq 2$ τότε και $x\geq 2$ :

Με mod25

έχουμε: $x\equiv 13(mod20)\Rightarrow x\equiv 1(mod2)$

Με mod9,7

έχουμε: $x\equiv 0(mod6)\Rightarrow x\equiv 0(mod2)$
Αδύνατη

Αν

τότε και

Είναι δύσκολη (?) η εκθετική

Είναι δύσκολη (?) η εκθετική

Re: Είναι δύσκολη (?) η εκθετική

Re: Είναι δύσκολη (?) η εκθετική

Re: Είναι δύσκολη (?) η εκθετική

Re: Είναι δύσκολη (?) η εκθετική

Re: Είναι δύσκολη (?) η εκθετική

Re: Είναι δύσκολη (?) η εκθετική

Re: Είναι δύσκολη (?) η εκθετική

Re: Είναι δύσκολη (?) η εκθετική

Μέλη σε σύνδεση