Γεωμετρική Ανισότητα!

big-pitsirikos · #1

Σε τρίγωνο ABC

, με ύψη

και ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου

, να δείξετε ότι :

$h_a+h_b+h_c \leq \dfrac{27R}{6}$ .

#2

$\displaystyle{h_a+h_b+h_c=\frac{2E}{a}+\frac{2E}{b}+\frac{2E}{c}=2E\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{abc}{2R}\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{ab+bc+ca}{2R},}$

οπότε αρκεί $\displaystyle{ab+bc+ca\leq 9R^2.}$

Αυτή ισχύει: $\displaystyle{ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2\leq 9R^2,}$ με τη δεξία να είναι π.χ. συνέπεια της $\displaystyle{OG^2=R^2-\frac{a^2+b^2+c^2}{9}\geq 0.}$

$\displaystyle{\rule{500pt}{1pt}}$

Διαφορετικά είναι συνέπεια των εξής:

$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{h_a\leq \sqrt{s(s-a)}}$

$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \sqrt{3(x+y+z)}}$

$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{3\sqrt{3}R\geq 2s.}$

$\displaystyle{\rule{500pt}{1pt}}$

Θεωρώ ότι δεν είναι επιπέδου διαγωνισμών γυμνασίου, τουλάχιστον για τα ελληνικά δεδομένα.

#3

matha έγραψε:
Θεωρώ ότι δεν είναι επιπέδου διαγωνισμών γυμνασίου, τουλάχιστον για τα ελληνικά δεδομένα.

Μεταφέρθηκε στους Seniors.

Θάνο, έχεις κάποια τυπογραφικά στην αρχή της πρώτης γραμμής και στο τέλος της τρίτης.

harrisp · #4

Mια διαφορετική προσσέγγιση για το θέμα...

Είναι γνωστό:

$\dfrac {h_{a}+h_{b}+h_{c}}{3}\leq \dfrac {m_{a}+m_{b}+m_{c}}{{ 3 }}\leq \sqrt {\dfrac {m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}} {3}}$

Αντικαθιστώντας με την βοήθεια του θεωρήματος των διαμέσων και χρήση του τύπου:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 9R^{2}$ έπεται το ζητούμενο.

Edit: Προστέθηκε το 3 στον παρονομαστή. Ευχαριστώ τον κύριο Σταύρο για την επισήμανση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Mια διαφορετική προσσέγγιση για το θέμα...

Είναι γνωστό:

$h_{a}+h_{b}+h_{c}\leq m_{a}+m_{b}+m_{c}\leq \sqrt {\dfrac {m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}} {3}}$

Για ξανακοίτα την τελευταία ανισότητα.

#6

Κάτι παρεμφερές με τον Θάνο.

● $\displaystyle{2E = 2rs \leqslant 3Rr\sqrt 3 }$ (1)

● $\displaystyle{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leqslant \frac{{\sqrt 3 }}{{2r}}}$ (2)

● $\displaystyle{{h_a} + {h_b} + {h_c} = 2E\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1),(2)} {h_a} + {h_b} + {h_c} \leqslant \frac{{9R}}{2}}$

Γεωμετρική Ανισότητα!

Γεωμετρική Ανισότητα!

Re: Γεωμετρική Ανισότητα!

Re: Γεωμετρική Ανισότητα!

Re: Γεωμετρική Ανισότητα!

Re: Γεωμετρική Ανισότητα!

Re: Γεωμετρική Ανισότητα!

Μέλη σε σύνδεση