Διοφαντική

nickthegreek · #1

Να λυθεί η ακόλουθη στο $\mathbb {Q}$ :

2y^2 = x^4 -17

.

Φιλικά,
Νίκος

nickthegreek · #2

Επαναφορά.

#3

Επαναφορά!

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #4

nickthegreek έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 16, 2017 3:35 pm
Να λυθεί η ακόλουθη στο $\mathbb {Q}$ :

.

Φιλικά,
Νίκος

Έστω

οι ρητοί σε ανάγωγες μορφές. χωρίς βλάβη a,b,c,d>0

Τότε η εξίσωση γίνεται a^4d^2=17b^2d^2+2c^2b^4

, άρα $b^4|a^4d^2 \Rightarrow b^4|d^2$
και επίσης d^2|2c^2b^4

, άρα για κάθε πρώτο p|d

είναι $u_p(d^2)\leq u_p(2)+u_p(b^4)$ από όπου εύκολα συμπεραίνουμε πως $u_p(d^2)\leq u_p(b^4)$ και έτσι $d^2|b^4|d^2\Rightarrow d^2=b^4$ , επομένως η εξίσωση γίνεται
a^4=17b^4+2c^2

και είναι

(γνωρίζουμε ήδη τα δύο πρώτα και αν υπήρχε πρώτος p|a,c

τότε $p|17b^4\Rightarrow p=17$ αλλά τότε θα ήταν και 17^2|17b^4

άτοπο)
Έστω περιττός πρώτος p|c

. Τότε $a^4=17b^4 \pmod {17} \Leftrightarrow (ab^{-1})^4=17 \pmod {17} \Rightarrow \left (\dfrac{17}{p} \right )=1$
Ο νόμος τετραγωνικής αντιστροφής $\left (\dfrac{17}{p} \right )\left (\dfrac{p}{17} \right )=(-1)^{\frac{17-1}{2}\cdot \frac{p-1}{2}}=1\Rightarrow \left (\dfrac{p}{17} \right )=1$
Επίσης $\left (\dfrac{2}{17} \right )=1$ αφού $17\equiv 1\pmod 8$ άρα

τετραγωνικό κατάλοιπο $\pmod {17}$
Παίρνοντας $\pmod {17}$ έχουμε $a^4=2c^2=2r^4 \pmod {17} \Leftrightarrow (ar^{-1})^4=2 \pmod {17}$ η οποία όμως είναι αδύνατη
(ελέγχουμε με το χέρι).
Έτσι, η εξίσωση είναι αδύνατη.

Διοφαντική

Διοφαντική

Re: Διοφαντική

Re: Διοφαντική

Re: Διοφαντική

Μέλη σε σύνδεση