Μέγιστο με περιορισμούς

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Μέγιστο με περιορισμούς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Ιουν 30, 2020 6:43 pm

Θεωρούμε τους πραγματικούς
a_{i},i=1,2,...,n
b_{i},i=1,2,...,n
c_{i},i=1,2,...,n
όπου
n\in \mathbb{N},n\geq 2

Αν
\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}=K_{1}

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}=K_{2}

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}c_{i}^{4}=K_{3}

K_{1},K_{2},K_{3}>0

να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_ib_{i}c_i



Λέξεις Κλειδιά:
giannisd
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Τετ Δεκ 05, 2018 1:02 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Μέγιστο με περιορισμούς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannisd » Τρί Ιουν 30, 2020 7:25 pm

Χάνω κάτι;
Από Holder:

\displaystyle{\sum_{i=1}^n a_ib_ic_i \leq \sum_{i=1}^n |a_ib_ic_i|\leq  \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)^{\frac{1}{4}}\left(\sum_{i=1}^n b_i^2c_i^4\right)^{\frac{1}{4}} = K_1^{\frac{1}{2}}K_2^{\frac{1}{4}}K_3^{\frac{1}{4}}}

Ισότητα ισχύει όταν: ka_i^2 = \ell b_i^2 = mb_i^2c_i^4 \,\forall i για θετικές σταθερές k,\ell,m. Ενδεικτικά έχουμε ισότητα, όταν όλα τα a_i>0 είναι ίσα, τα b_i>0 είναι ίσα, τα c_i>0 είναι ίσα.

Edit: Έβαλα και την ισότητα, ευχαριστώ για την επισήμανση.
τελευταία επεξεργασία από giannisd σε Τρί Ιουν 30, 2020 10:51 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


miltosk
Δημοσιεύσεις: 79
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2019 7:28 pm

Re: Μέγιστο με περιορισμούς

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από miltosk » Τρί Ιουν 30, 2020 8:00 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Ιουν 30, 2020 6:43 pm
Θεωρούμε τους πραγματικούς
a_{i},i=1,2,...,n
b_{i},i=1,2,...,n
c_{i},i=1,2,...,n
όπου
n\in \mathbb{N},n\geq 2

Αν
\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}=K_{1}

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}=K_{2}

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}c_{i}^{4}=K_{3}

K_{1},K_{2},K_{3}>0

να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_ib_{i}c_i
AM-GM 2a_i^2+b_i^2+b_i^2c_i^4\geq 4 \sqrt [4]{a_i^4b_i^4c_i^4}=4|a_ib_ic_i|\geq 4a_ib_ic_i
Αθροίζοντας: \frac{2K_1+K_2+K_3}{4}\geq \sum_{i=1}^{n}a_ib_{i}c_i
Η ισότητα στην τελευταία για c_i=1,a_i=\sqrt{\frac{b_i^2}{2}},b_i, με b_i>0.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μέγιστο με περιορισμούς

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Ιουν 30, 2020 8:23 pm

miltosk έγραψε:
Τρί Ιουν 30, 2020 8:00 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Ιουν 30, 2020 6:43 pm
Θεωρούμε τους πραγματικούς
a_{i},i=1,2,...,n
b_{i},i=1,2,...,n
c_{i},i=1,2,...,n
όπου
n\in \mathbb{N},n\geq 2

Αν
\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}=K_{1}

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}=K_{2}

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}c_{i}^{4}=K_{3}

K_{1},K_{2},K_{3}>0

να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_ib_{i}c_i
AM-GM 2a_i^2+b_i^2+b_i^2c_i^4\geq 4 \sqrt [4]{a_i^4b_i^4c_i^4}=4|a_ib_ic_i|\geq 4a_ib_ic_i
Αθροίζοντας: \frac{2K_1+K_2+K_3}{4}\geq \sum_{i=1}^{n}a_ib_{i}c_i
Η ισότητα στην τελευταία για c_i=1,a_i=\sqrt{\frac{b_i^2}{2}},b_i, με b_i>0.
Το μέγιστο ποιο είναι;
Επίσης τα K_{1},K_{2},K_{3} είναι οποιαδήποτε .
Αν c_i=1 τότε K_{2}=K_{3}
δεν είναι στις υποθέσεις.


miltosk
Δημοσιεύσεις: 79
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2019 7:28 pm

Re: Μέγιστο με περιορισμούς

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από miltosk » Τρί Ιουν 30, 2020 8:30 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Ιουν 30, 2020 8:23 pm
miltosk έγραψε:
Τρί Ιουν 30, 2020 8:00 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Ιουν 30, 2020 6:43 pm
Θεωρούμε τους πραγματικούς
a_{i},i=1,2,...,n
b_{i},i=1,2,...,n
c_{i},i=1,2,...,n
όπου
n\in \mathbb{N},n\geq 2

Αν
\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}=K_{1}

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}=K_{2}

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}c_{i}^{4}=K_{3}

K_{1},K_{2},K_{3}>0

να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_ib_{i}c_i
AM-GM 2a_i^2+b_i^2+b_i^2c_i^4\geq 4 \sqrt [4]{a_i^4b_i^4c_i^4}=4|a_ib_ic_i|\geq 4a_ib_ic_i
Αθροίζοντας: \frac{2K_1+K_2+K_3}{4}\geq \sum_{i=1}^{n}a_ib_{i}c_i
Η ισότητα στην τελευταία για c_i=1,a_i=\sqrt{\frac{b_i^2}{2}},b_i, με b_i>0.
Το μέγιστο ποιο είναι;
Το \frac{2K_1+K_2+K_3}{4}. Τα a_i,b_i,c_i δεν θεωρούνται μεταβλητά και τα K_i σταθερά;
Νομίζω στην περίπτωση ισότητας, ταυτίζεται με αυτό που δίνει ο giannisd πιο πάνω.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μέγιστο με περιορισμούς

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Ιουν 30, 2020 8:43 pm

miltosk έγραψε:
Τρί Ιουν 30, 2020 8:30 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Ιουν 30, 2020 8:23 pm
miltosk έγραψε:
Τρί Ιουν 30, 2020 8:00 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Ιουν 30, 2020 6:43 pm
Θεωρούμε τους πραγματικούς
a_{i},i=1,2,...,n
b_{i},i=1,2,...,n
c_{i},i=1,2,...,n
όπου
n\in \mathbb{N},n\geq 2

Αν
\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}=K_{1}

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}=K_{2}

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}c_{i}^{4}=K_{3}

K_{1},K_{2},K_{3}>0

να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_ib_{i}c_i
AM-GM 2a_i^2+b_i^2+b_i^2c_i^4\geq 4 \sqrt [4]{a_i^4b_i^4c_i^4}=4|a_ib_ic_i|\geq 4a_ib_ic_i
Αθροίζοντας: \frac{2K_1+K_2+K_3}{4}\geq \sum_{i=1}^{n}a_ib_{i}c_i
Η ισότητα στην τελευταία για c_i=1,a_i=\sqrt{\frac{b_i^2}{2}},b_i, με b_i>0.
Το μέγιστο ποιο είναι;
Το \frac{2K_1+K_2+K_3}{4}. Τα a_i,b_i,c_i δεν θεωρούνται μεταβλητά και τα K_i σταθερά;
Νομίζω στην περίπτωση ισότητας, ταυτίζεται με αυτό που δίνει ο giannisd πιο πάνω.
Οχι δεν ταυτίζονται .
Ο giannisd εχει ισότητα όταν όλα τα a_i είναι ίσα ,όλα τα b_iείναι ίσα και όλα τα c_i είναι ίσα.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μέγιστο με περιορισμούς

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Ιουν 30, 2020 8:46 pm

giannisd έγραψε:
Τρί Ιουν 30, 2020 7:25 pm
Χάνω κάτι;
Από Holder:

\displaystyle{\sum_{i=1}^n a_ib_ic_i \leq \sum_{i=1}^n |a_ib_ic_i|\leq  \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)^{\frac{1}{4}}\left(\sum_{i=1}^n b_i^2c_i^4\right)^{\frac{1}{4}} = K_1^{\frac{1}{2}}K_2^{\frac{1}{4}}K_3^{\frac{1}{4}}}
Τίποτα δεν χάνεις.
Απλά είσαι πολύ σύντομος.
Προηγουμένως λόγω μεγέθους ουτε καν είδα την δημοσιευσή σου.
Το μόνο που λείπει είναι γιατί υπάρχει η ισότητα.
Βέβαια είναι πανεύκολο.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μέγιστο με περιορισμούς

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Ιούλ 01, 2020 1:23 am

Για να δούμε πως μπορούμε να αποφύγουμε την Holder
χρησιμοποιώντας μόνο C-S.
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι τα a_i,b_i,c_i μη αρνητικά.
Γράφοντας
a_ib_ic_i=(a_ib_i)^{\frac{1}{2}}(a_ib_i)^{\frac{1}{2}}c_i
η C-S δίνει
\displaystyle \sum a_ib_ic_i\leq (\sum a_ib_i)^{\frac{1}{2}}(\sum a_ib_ic_i^{2})^{\frac{1}{2}}(1)
ξανα εφαρμόζοντας C-S
έχουμε
\displaystyle \sum a_ib_i\leq (\sum a_i^{2})^{\frac{1}{2}}(\sum b_i^{2})^{\frac{1}{2}}(2)

\displaystyle (\sum a_ib_ic_i^{2})\leq (\sum a_i^{2})^{\frac{1}{2}}(\sum b_i^{2}c_{i}^{4})^{\frac{1}{2}}(3)

Αν αντικαταστήσουμε τις (2),(3) στην (1) παίρνουμε την

\displaystyle\sum  a_ib_ic_i \leq  (\sum a_i^2 )^{\frac{1}{2}}(\sum b_i^2)^{\frac{1}{4}}(\sum b_i^2c_i^4)^{\frac{1}{4}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης