Ομοκυκλικά σημεία

#1

Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο $\triangle ABC$ , θεωρούμε τα ύψη AH_a

και

. Έστω

και

τα σημεία τομής του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC

με την ευθεία H_aH_b

. Έστω

το συμμετρικό του

ως προς τη

, και έστω

το συμμετρικό του

ως προς τη

. Να δειχθεί ότι τα σημεία

,

είναι ομοκυκλικά.

#2

achilleas έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 06, 2023 1:16 pm
Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο $\triangle ABC$ , θεωρούμε τα ύψη και . Έστω και τα σημεία τομής του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με την ευθεία . Έστω το συμμετρικό του ως προς τη , και έστω το συμμετρικό του ως προς τη . Να δειχθεί ότι τα σημεία , , , είναι ομοκυκλικά.

Καλημέρα Αχιλλέα !

$\bullet$ Προφανώς $\angle AB{{H}_{b}}=\angle HC{{H}_{b}}$ (οξείες με κάθετες πλευρές) , όπου

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου $\vartriangle ABC$ και συνεπώς τα ορθογώνια τρίγωνα (εξ’ αιτίας του ύψους $B{{H}_{b}}$ ) $\vartriangle AB{{H}_{b}}$ και $\vartriangle HC{{H}_{b}}$ είναι όμοια , οπότε $\dfrac{A{{H}_{b}}}{H{{H}_{b}}}=\dfrac{B{{H}_{b}}}{{{H}_{b}}C}\overset{B{{H}_{b}}={{H}_{b}}{B}'}{\mathop{\Rightarrow }}\,H{{H}_{b}}\cdot {{H}_{b}}{B}'=A{{H}_{b}}\cdot {{H}_{b}}C:\left( 1 \right)$

: Ομοκυκλικά σημεία.png (40.83 KiB) Προβλήθηκε 1044 φορές

$\bullet$ Από το θεώρημα των τεμνομένων χορδών AC,PQ

του περίκυκλου του $\vartriangle ABC$ στο ${{H}_{b}}$ θα έχουμε: ${{H}_{b}}P\cdot {{H}_{b}}Q=A{{H}_{b}}\cdot {{H}_{b}}C:\left( 2 \right)$
Από $\left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow H{{H}_{b}}\cdot {{H}_{b}}{B}'={{H}_{b}}P\cdot {{H}_{b}}Q$ από την οποία σχέση σύμφωνα με το αντίστροφο του θεωρήματος των τεμνομένων χορδών προκύπτει ότι τα σημεία H,P,{B}',Q

είναι ομοκυκλικά

Αν {H}'

είναι το δεύτερο (εκτός του

) σημείο τομής του περίκυκλου του τριγώνου $\vartriangle ABC$ με το ύψος $A{{H}_{a}}$ τότε είναι γνωστό ότι ${{H}_{a}}H={{H}_{a}}{H}'$

$\bullet$ Από το θεώρημα των τεμνομένων χορδών A{H}',PQ

του περίκυκλου του $\vartriangle ABC$ στο ${{H}_{a}}$ θα έχουμε: ${{H}_{a}}P\cdot {{H}_{a}}Q={{H}_{a}}A\cdot {{H}_{a}}{H}'\overset{{{H}_{a}}A={{H}_{a}}{A}',{{H}_{a}}{H}'={{H}_{a}}H}{\mathop{\Rightarrow }}\,{{H}_{a}}P\cdot {{H}_{a}}Q={{H}_{a}}{A}'\cdot {{H}_{a}}H$ από την οποία σύμφωνα με το αντίστροφο του θεωρήματος των τεμνομένων χορδών προκύπτει ότι τα σημεία H,P,{A}',Q

είναι ομοκυκλικά

Τέλος από τις ομοκυκλικές τετράδες $\left( H,P,{B}',Q \right),\left( H,P,{A}',Q \right)$ με τρία κοινά σημεία $\left( H,P,Q \right)$ προκύπτει ότι $\left( H \right),P,{A}',{B}',Q$ είναι ομοκυκλικά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Ορέστης Λιγνός · #3

achilleas έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 06, 2023 1:16 pm
Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο $\triangle ABC$ , θεωρούμε τα ύψη και . Έστω και τα σημεία τομής του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με την ευθεία . Έστω το συμμετρικό του ως προς τη , και έστω το συμμετρικό του ως προς τη . Να δειχθεί ότι τα σημεία , , , είναι ομοκυκλικά.

Αντιστρέφουμε με πόλο το

και δύναμη $-CH \cdot HH_c$ , όπου $H_c \in AB$ ώστε $CH_c \perp AB$ . Τότε, $H_B \leftrightarrow B, H_C \leftrightarrow C, H_c \leftrightarrow A,$ και συνεπώς η εικόνα του κύκλου (ABC)

είναι ο κύκλος (H_aH_bH_c)

και η εικόνα του H_aH_b

είναι ο κύκλος (HAB)

, συνεπώς τα σημεία P,Q

έχουν ως εικόνες τα σημεία τομής P',Q'

των κύκλων (H_aH_bH_c)

και

.

Επιπλέον, αν

το σημείο τομής των H_bD

και

το σημείο τομής των H_aD

και

, τότε

$\angle CA'X=\angle CAH_a=\angle CDX,$

συνεπώς το τετράπλευρο CXDA'

είναι εγγράψιμο, και άρα η εικόνα του σημείου

είναι το σημείο

. Όμοια, η εικόνα του σημείου

είναι το σημείο

.

Αρκεί, λοιπόν, να δείξουμε ότι τα σημεία X,Y,P',Q'

είναι συνευθειακά, ή ισοδύναμα ότι τα σημεία X,Y

ανήκουν στον ριζικό άξονα των κύκλων (H_aH_bH_c)

και

. Αυτό όμως είναι προφανές, γιατί

${\rm pow}(X,(H_aH_bH_c))=XH_b \cdot XD=XA \cdot XH={\rm pow}(X,(AHB)),$

και άρα το

ανήκει στον ριζικό άξονα των δύο κύκλων. Όμοια, και το

ανήκει στον ριζικό τους άξονα, οπότε η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

#4

Στάθη και Ορέστη, καλημέρα σας, και ευχαριστώ για τις λύσεις σας.

Πρόκειται για το πρόβλημα 4 των Seniors της Μαθηματικής Ολυμπιάδας του Καυκάσου 2021, το οποίο έδωσα πρόσφατα για εξάσκηση στα κορίτσια της EGMO2023.

Η σχετική δημοσίευση στο AoPS είναι εδώ.

Ομοκυκλικά σημεία

Ομοκυκλικά σημεία

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Μέλη σε σύνδεση