ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ

paylos · #1

Αν για τους αριθμούς $\alpha ,{\rm{ \beta }}{\rm{, \gamma }}$ ισχύει $\gamma \cdot \left( {\alpha + \beta + \gamma } \right) < 0$ , να αποδείξετε ότι η εξίσωση: $\alpha {x^2} + \beta x + \gamma = 0$ έχει δύο ρίζες άνισες.

#2

Μήπως πρέπει να δοθεί ότι $\displaystyle{a\neq 0}$ ;

#3

Θα διακρίνουμε αρχικά δύο περιπτώσεις:
(Για ευκολία στην πληκτρολόγηση, θέτω $\displaystyle{\gamma =c , \beta = b}$ )
1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{c > 0}$ . Τότε $\displaystyle{a+b+c <0}$ . Άρα $\displaystyle{b < -(a+c)}$ . (1) . Και διακρίνουμε τις εξής υποπεριπτώσεις:

(α) $\displaystyle{a+c > 0 \Rightarrow -(a+c) < 0}$ και άρα θα είναι και $\displaystyle{b < 0}$ . Τότε από την (1) έχουμε:

$\displaystyle{b^2 > (a+c)^2 \Rightarrow b^2 > a^2 +2ac + c^2 \Rightarrow b^2 -4ac >a^2 -2ac+c^2 =(a-c)^2 \geq 0}$

Άρα η δοσμένη εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες.

(β) $\displaystyle{a+c <0}$ . Τότε $\displaystyle{a< - c < 0}$ . Άρα $\displaystyle{a<0 \Rightarrow -4ac>0\Rightarrow b^2 -4ac >b^2 \geq 0}$ . Άρα

$\displaystyle{b^2 -4ac > 0}$ και έχουμε και πάλι το ζητούμενο.

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{c<0}$ Τότε $\displaystyle{a+b+c > 0}$ . Θα διακρίνουμε και πάλι δύο υποπεριπτώσεις:

(α) $\displaystyle{a >0}$ . Τότε $\displaystyle{4ac<0}$ . Άρα $\displaystyle{-4ac >0}$ και συνεπώς $\displaystyle{b^2 -4ac >b^2 \geq 0}$ , άρα το ζητούμενο

(β) $\displaystyle{a<0}$ . Τότε αφού είναι και $\displaystyle{c<0}$ , θα έχουμε $\displaystyle{a+c<0}$ και από $\displaystyle{a+b+c >0 \Rightarrow b>-(a+c)\Rightarrow}$

$\displaystyle{b>0}$ . Άρα από την σχέση $\displaystyle{b>-(a+c)}$ παίρνουμε $\displaystyle{b^2 >(a+c)^2 }$ και όπως είδαμε και πιο πάνω θα είναι

$\displaystyle{b^2 -4ac >0}$ , και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

paylos έγραψε: ↑
Τετ Απρ 01, 2020 10:10 pm
Αν για τους αριθμούς $\alpha ,{\rm{ \beta }}{\rm{, \gamma }}$ ισχύει $\gamma \cdot \left( {\alpha + \beta + \gamma } \right) < 0$ , να αποδείξετε ότι η εξίσωση: $\alpha {x^2} + \beta x + \gamma = 0$ έχει δύο ρίζες άνισες.

Οπως έγραψε ο Δημήτρης πρέπει $a\neq 0$
εχουμε ότι c(a+b+c)<0

(1)
και θέλουμε να δείξουμε ότι η εξίσωση
ax^2+bx+c=0

έχει δύο άνισες ρίζες.

Εχουμε ότι $ax^2+bx+c=a((x+k)^{2}+r)$
Η (1) γίνεται a^2(k^2+r)((k+1)^2+r)<0

Από την τελευταία παίρνουμε ότι r<0

.
Αρα

.
Ετσι οι ρίζες είναι l-k,-l-k

που είναι διαφορετικές.
Μπορούμε να δείξουμε ότι ακριβώς ένας από τους παραπάνω αριθμούς
είναι μεταξύ

και

Διαφορετική λύση.
Εστω f(x)=ax^2+bx+c

Η συνθήκη γράφεται f(0)f(1)<0

Αν η διακρίνουσα ήταν μη θετική τότε ως γνωστον το τριώνυμο δεν μπορεί
να πάρει ετερόσημες τιμές.
Αρα η διακρίνουσα είναι θετική οπότε έχει δύο διακεκριμένες ρίζες.
Επειδή διατηρεί πρόσημο μεταξύ των ριζων καθώς και έξω από αυτές ακριβώς
μια από την ρίζα θα είναι μεταξύ

και

#5

paylos έγραψε: ↑
Τετ Απρ 01, 2020 10:10 pm
Αν για τους αριθμούς $\alpha ,{\rm{ \beta }}{\rm{, \gamma }}$ ισχύει $\gamma \cdot \left( {\alpha + \beta + \gamma } \right) < 0$ , να αποδείξετε ότι η εξίσωση: $\alpha {x^2} + \beta x + \gamma = 0$ έχει δύο ρίζες άνισες.

Μία ρίζα είναι σίγουρη αφού f(0)f(1)<0

. Αν οι ρίζες ήταν ίσες, τότε θα ίσχυε b^2=4ac

. Αλλά τότε από την υπόθεση θα είχαμε

0>4c(a+b+c)=4ac +4bc+4c^2= b^2+4bc+4c^2=(b+2c)^2

, άτοπο.

stranger · #6

Μπορούμε να πούμε ότι η μια ρίζα είναι σίγουρη αφού f(0)f(1)<0

.
Άρα αν έχουμε μοναδική ρίζα θα πρέπει λόγω συνέχειας η γραφική παράσταση της

να βρίσκεται στο πάνω ημιεπίπεδο ολόκληρη η στο κάτω ημιεπίπεδο ολόκληρη επειδή $\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x) = \lim_{x \rightarrow \infty}f(x)= \pm \infty$ , το οποίο είναι άτοπο αφού f(0)f(1)<0

.

Συγγνώμη τώρα είδα ότι είμαστε σε φάκελο Α Λυκείου.

paylos · #7

Ευχαριστώ για τις λύσεις των συναδέλφων!!!

ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ

ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ

Μέλη σε σύνδεση