Απόλυτο-παραμετρική

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε την ελάχιστη ακέραια τιμή της παραμέτρου

, για την οποία η εξίσωση

$\left | \dfrac{7-\left | x\right |}{\left | x\right|-2} \right | = a$

έχει ακριβώς τέσσερεις ρίζες.

Manolis Petrakis · #2

Προφανώς $a\in \mathbb{N}$
•Αν a=0

τότε $7-|x|=0\Leftrightarrow x=\pm 7$ (

ρίζες)
•Αν a=1

τότε $7-|x|=|x|-2\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{9}{2}$
Ή 7-|x|=2-|x|

αδύνατο (

ρίζες)
•Αν a=2

τότε $7-|x|=2(|x|-2)\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{11}{3}$
Ή $7-|x|=2(2-|x|)\Leftrightarrow |x|=-3$ αδύνατη (

ρίζες)
•Αν a=3

τότε $7-|x|=3(|x|-2)\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{13}{4}$
Ή $7-|x|=3(2-|x|)\Leftrightarrow |x|=-\frac{1}{2}$ αδύνατη (

ρίζες)
•Αν a=4

τότε $7-|x|=4(|x|-2)\Leftrightarrow x=\pm 3$
Ή $7-|x|=4(2-|x|)\Leftrightarrow x=\pm \frac{1}{3}$ (

ρίζες)
Έτσι $a_{min}=4$

Al.Koutsouridis · #3

Να βρείτε γενικά για ποιές πραγματικές τιμές του

έχει η εξίσωση ακριβώς τέσσερεις ρίζες.

#4

Αρχικά,

(Αν

δεν έχει λύση, ενώ αν a=0

έχει δύο ρίζες). Άρα, $\boxed{\frac{{7 - |x|}}{{|x| - 2}} = a}$ (1)

ή $\boxed{\frac{{7 - |x|}}{{|x| - 2}} = -a}$ (2)

Η

δίνει $\displaystyle |x| = \frac{{2a + 7}}{{a + 1}},$ απ' όπου προκύπτουν δύο ρίζες (αφού a>0

).

H

δίνει $\displaystyle |x| = \frac{{2a - 7}}{{a - 1}}.$ Για να έχει και αυτή δύο ρίζες, πρέπει $\displaystyle \frac{{2a - 7}}{{a - 1}} > 0 \Leftrightarrow a > \frac{7}{2}$ ή $\displaystyle a < 1$

Για να έχουμε λοιπόν ακριβώς τέσσερις ρίζες πρέπει $\boxed{a \in (0,1) \cup \left( {\frac{7}{2}, + \infty } \right)}$

Al.Koutsouridis · #5

Για την πληρότητα της λύσης ας αναφέρουμε και τον έλεγχο

$\dfrac{{2a + 7}}{{a + 1}} \neq \dfrac{{2a - 7}}{{a - 1}}$ για a >0

.

#6

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 23, 2020 8:59 pm
Για την πληρότητα της λύσης ας αναφέρουμε και τον έλεγχο

$\dfrac{{2a + 7}}{{a + 1}} \neq \dfrac{{2a - 7}}{{a - 1}}$ για .

Αυτό εξυπακούεται, αφού έχουμε ξεκαθαρίσει από την αρχή ότι $a\ne0.$

Al.Koutsouridis · #7

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 23, 2020 11:01 pm

Αυτό εξυπακούεται, αφού έχουμε ξεκαθαρίσει από την αρχή ότι $a\ne0.$

Σωστά!

Σταμ. Γλάρος · #8

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 21, 2020 1:21 pm
Να βρείτε την ελάχιστη ακέραια τιμή της παραμέτρου , για την οποία η εξίσωση

$\left | \dfrac{7-\left | x\right |}{\left | x\right|-2} \right | = a$

έχει ακριβώς τέσσερεις ρίζες.

Καλησπέρα . Μια προσπάθεια με χρήση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης .
Κατ' αρχάς έχουμε περιορισμό $x\neq \pm 2$ και a>0

.
Είναι $\left | \dfrac{7-\left | x\right |}{\left | x\right|-2} \right | = a$ $\Leftrightarrow$ |7-|x||=a||x|-2|

$\Leftrightarrow$ $\left ( \left | 7-|x| \right | \right )^2= a^2 \left ( \left | |x|-2 \right | \right )^2$ $\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ $\left ( a^2-1 \right )|x|^2 -2(a^2-7)|x|+4a^2-49=0$ (1)
Θέτω |x|=w

.
Έχω : $\left ( a^2-1 \right )w^2 -2(a^2-7)w+4a^2-49=0$ (2)
Για να έχει η (1) τέσσερεις ρίζες θα πρέπει η (2) να έχει δύο ρίζες θετικές.
Δηλαδή με χρήση τύπων Vieta πρέπει το άθροισμα

και το γινόμενο

των ριζών να είναι θετικά.
Συνεπώς έχουμε P>0

$\Leftrightarrow$ $\frac{4a^2-49}{a^2-1}>0\Leftrightarrow (2a-7)(2a+7)(a-1)(a+1)>0$ και επειδή a>0

ισχύει $a\in (0 ,1)\cup \left ( \frac{7}{2},+\infty \right )$ .

Επίσης S>0

$\Leftrightarrow$ $\frac{2(a^2-7)}{a^2-1}>0\Leftrightarrow 2(a-\sqrt{7})(2a+\sqrt{7})(a-1)(a+1)>0$ και
επειδή a>0

ισχύει $a\in (0 ,1)\cup \left (\sqrt{7}},+\infty \right )$ .
Τελικά συναληθεύοντας έχουμε $a\in (0 ,1)\cup \left ( \frac{7}{2},+\infty \right )$ .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Απόλυτο-παραμετρική

Απόλυτο-παραμετρική

Re: Απόλυτο-παραμετρική

Re: Απόλυτο-παραμετρική

Re: Απόλυτο-παραμετρική

Re: Απόλυτο-παραμετρική

Re: Απόλυτο-παραμετρική

Re: Απόλυτο-παραμετρική

Re: Απόλυτο-παραμετρική

Μέλη σε σύνδεση